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1、1,常系数,第七节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,2,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,3,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,4,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:
2、,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,5,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,6,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,7,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,8,例3： 求,的通解,解; 特征方程为,（共轭复根）,由公式得方程通解,由上面的讨论可知：求二阶常系数线性齐次方程,的通解，并不需要进行积分运算，只要
3、解代数方程,求出特征方程的根，就可写出方程的通解。（这种求,解的方法可以推广到 n 阶常系数线性齐次方程上去。),9,例4.,解: 特征方程:,特征根为,则方程通解 :,10,例5.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,11,n 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,12,例6,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,13,例7： 求由,所满足的三阶常系数,齐次方程。,解：,可得特征方程为：,则三阶的齐次方程为,14,内容小结,特征根:,(1) 当,时, 通解为,(3) 当,时, 通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .,(2) 当,时, 通解为,15,思考与练习,求方程,的通解 .,答案:,通解为,通解为,通解为,16,P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ;,作业,
