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1、电路,第十章 6 学时10-1 10-2,2022年11月20日星期日,第十章 含有耦合电感的电路,内容提要耦合电感在工程中有着广泛的应用。主要介绍：耦合电感中的磁耦合现象、互感和耦合因数、耦合电感的同名端和耦合电感的磁通链方程、电压电流关系；介绍：含有耦合电感电路的分析计算及空心变压器、理想变压器的初步概念。,2022年11月20日星期日,10-1 互 感,载流线圈间通过彼此磁场相互联系的物理现象称磁耦合。互感图10-1(a)两个有耦合载流线圈(电感L1和L2)，其中电流i1和i2称施感电流，线圈匝数分别为N1和N2。根据两个线圈绕向、施感电流参考方向和两线圈相对位置，按右螺旋法则确定施感电
2、流产生磁通方向和彼此交链情况。线圈1电流i1产生磁通设为11，方向如图，穿越自身线圈时所产生磁通链设为11，称自感磁通链；11中一部分或全部交链线圈2时产生磁通链设为21，称互感磁通链。,2022年11月20日星期日,磁通链、自感和互感,线圈2中电流i2也产生自感磁通链22和互感磁通链12(图中未画)，就是彼此耦合的情况。耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通链两部分代数和，如线圈1和2中磁通链分别为1和2，则有： 1=1112 2=21+22当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁通链都与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 11=L1i1， 22=L2i2,10-1 互 感,2
3、022年11月20日星期日,磁通链、自感和互感,互感磁通链： 12=M12i2，21=M21i1 式中M12和M21称互感系数，简称互感。互感用符号M表示，单位为H，本书中M恒取正值。可证明，M12=M21，当只有两个线圈(电感)有耦合时，可略去M下标，即可令M=M12=M21。,10-1 互 感,2022年11月20日星期日,互感及同名端标记（1）,两个耦合线圈的磁通链可表示为： 1=L1i1Mi2 2=Mi1+L2i2 表明耦合线圈中磁通链与施感电流成线性关系，是各施感电流独立产生磁通链叠加的结果。M前“”号说明磁耦合中互感作用两种可能性。“+”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，称互感
4、的“增助”作用图10-1(a)；“-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。,10-1 互 感,2022年11月20日星期日,互感及同名端标记（2）,为便于反映“增助”或“削弱”作用和简化图形表示，采用同名端标记方法。对两个有耦合线圈各取一个端子，并用相同的符号标记，如小圆点或“*”号等，这一对端子称“同名端”。当一对施感电流i1和i2从同名端流进(或流出)各自的线圈时，互感起增助作用。如图10-1(a)中端子1、2或1、2为同名端，在图中用小圆点标出。如电流i1从端子1流进，而电流i2从端子2流出，则互感将起削弱作用。两个有耦合线圈同名端可根据其绕向和相对位置判别，也可通过实验方法确定。,10-
5、1 互 感,2022年11月20日星期日,互感及同名端标记（3）,引入同名端概念，两个耦合线圈可用带有同名端标记的电感(元件)L1和L2表示，图10-1(b)，M表示互感。 有：1=L1i1+Mi2 2=Mi1+L2i2 式中含M的项之前取“+”号，表示“增助”。两个有耦合的电感可以看作是一个具有4个 端子的电路元件。当有2个以上电感彼此间存在耦合时，同 名端应当一对一对地加以标记，每一对 宜用不同符号。如每一电感都有电流时，则每一个电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。凡与自感磁通链同方向的互感磁通链(增助)，求和时该项前面取“+”号，反之(削弱)则取“-”号。,10-1
6、互 感,2022年11月20日星期日,例 10-1,图10-1(b)中，i1=10A，i2=5cos(10t)A，L1=2H，L2=3H，M=1H。求两耦合线圈中的磁通链。解 施感电流i1、i2都是从标记同名端流进线圈，互感起“增助”作用，各磁通链计算如下： 11=L1i1=20 Wb 22=L2i2=15cos(10t) Wb 12=Mi2=5cos(10t) Wb 21=Mi1=10 Wb最后得(按右螺旋法则指定磁通链参考方向)： 1=L1i1+Mi2=20+5cos(10t) Wb 2=Mi1+L2i2=10+15cos(10t) Wb,10-1 互 感,2022年11月20日星期日,两
7、耦合电感的电压电流关系（1）,如两耦合电感L1和L2中有变动电流，磁通链随电流而变动。设L1和L2的电压和电流分别为u1、i1和u2、i2，都取关联方向，互感为M，则有： 表示两耦合电感电压电流关系。 令自感电压 互感电压 u12是变动电流i2在L1中产生的互感电压，u21是变动电流i1在L2中产生的互感电压。所以耦合电感的电压是自感电压和互感电压叠加的结果。,10-1 互 感,2022年11月20日星期日,两耦合电感的电压电流关系（2）,互感电压前“+”或“-”号正确选取是写出耦合电感端电压的关键，选取原则：如互感电压“+”极性端子与产生它的电流流进的端子为一对同名端，互感电压前应取“+”号
8、，反之取“-”号。图10-1(b)，u1(u12同)的“+”极性在L1的“1”端，电流i2从“2”端流进L2，而这两个端子是同名端， 故有 同理,10-1 互 感,2022年11月20日星期日,例 10-2,求例10-1中两耦合电感的端电压u1、u2。解 i1=10A，i2=5cos(10t)A，L1=2H，L2=3H，M=1H。 按图10-1(b)和式(10-1)，得：电压u1中只含有互感电压u12，电压u2中只含有自感电压u22，说明不变动的电流i1(直流)虽产生自感和互感磁通链，但不产生自感和互感电压。当施感电流为同频正弦量时，在正弦稳态情况下，电压、电流方程可用相量形式表示，以图10-
9、1(b) 为例，有：如令ZM=jM，M称互感抗。,10-1 互 感,2022年11月20日星期日,用CCVS表示互感电压-1,还可用CCVS表示互感电压作用。图10-1(b)耦合电感，用CCVS表示电路如图10-2(相量形式) 。工程上为定量描述两个耦合线圈的耦合紧疏程度，把两线圈互感磁通链与自感磁通链比值的几何平均值定义为耦合因数，记为k,10-1 互 感,2022年11月20日星期日,用CCVS表示互感电压-2,由于11=L1i1，|12|=Mi2，22=L2i2， |21|=Mi1，代入上式后有 k的大小与两个线圈结构、相互位置以及周围磁介质有关。改变或调整相互位置有可能改变耦合因数大小
10、；当L1和L2一定时，也就相应地改变了互感M的大小。,10-1 互 感,2022年11月20日星期日,10-2 含有耦合电感电路的计算,含有耦合电感电路(简称互感电路)正弦稳态分析可采用相量法。应注意耦合电感上电压包含互感电压，列KVL方程时，要正确使用同名端计入互感电压；可引用CCVS表示互感电压。耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些支路电流有关，列结点电压方程时会遇到困难，要另行处理。图10-3(a)耦合电感电路是一种串联电路，由于互感起“削弱”作用，故称反向串联(另一种顺向串联，互感起“增助”作用)，图示参考方向，KVL方程为：,2022年11月20日星期日,无互感等效电
11、路,根据上述方程可给出无互感等效电路，图(b)所示等效电路为电阻R1、R2和电感L(=L1+L2-2M)的串联电路。对正弦稳态电路，可采用相量形式表示为：电流为,10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,反向串联和顺向串联电路的阻抗,每一条耦合电感支路的阻抗和电路的输入阻抗分别为： Z1=R1+j(L1-M) Z2=R2+j(L2-M) Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(L1+L2-2M)可见，反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗小(电抗变小)，是由于互感削弱作用，类似于串联电容作用，常称为互感的“容性”效应。每一耦合电感支路等效电感分别为(L1
12、-M)和(L2-M)，有可能其中之一为负值，但不可能都为负，整个电路仍呈感性。对顺向串联电路，不难得出每一耦合电感支路阻抗为： Z1=R1+j(L1+M) Z2=R2+j(L2+M) 而 Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(L1+L2+2M),10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,例 10-3（1）,图10-3(a)电路，正弦电压U=50V，R1=3，L1=7.5，R2=5，L2=12.5，M=8。求该耦合电感的耦合因数k和该电路中各支路吸收的复功率 和 解 耦合因数k为求得支路电流和阻抗，能求得支路复功率。支路等效阻抗分别为： Z1=R1+j(L1-M)=(3-j0.
13、5)= Z2=R2+j(L2-M)=(5+j4.5)= 输入阻抗Z：Z=Z1+Z2=(8+j4)=,10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,例 10-3（2）,令 解得电流为各支路吸收复功率：电源发出复功率为,10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,耦合电感的并联电路-1,图10-4(a) 电路为耦合电感的一种并联电路，同名端连在同一结点上，称同侧并联电路。异名端连接在同一结点上时，称异侧并联电路，图10-4(b)。正弦稳态情况下，对同侧并联电路有异侧并联电路类似得,10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,耦合电感的并联电路-2
14、,令Z1=R1+jL1，Z2=R2+jL2，ZM=jM，按式(10-3a)，同侧并联电路：式中 根据KCL可求得,10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,去耦等效电路,用 消支路1方程中 用 消去支路2方程中 有： 由此方程可得无互感等效电路，如图10-4(c)。无互感等效电路又称去耦等效电路。同理，按式(10-3b)可得异侧并联去耦等效电路，其差别仅在于互感M前的“+”、“-”号。,10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,去耦方法归纳,归纳去耦方法：如耦合电感2条支路各有一端与第3支路形成一个仅含3条支路的共同结点，可用3条无耦合电感支路等效替代，
15、等效电感分别为： (支路3) L3=M (同侧取“+”，异侧取“-”) (支路1) L1=L1 M (支路2) L2=L2M M前符号与L3中相反等效电感与电流参考方向无关。这3条支路中其他元件不变。注意去耦等效电路中的结点不是原电路结点，原结点移至L3的前面。,10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,例 10-4,图10-4(a)中，设正弦电压的U=50V，R1=3，L1=7.5，R2=5，L2=12.5，M=8(与例10-3同)。求支路1、2吸收的复功率。解 令 按以上公式有：支路1、2的复功率 和 为：,10-2含有耦合电感电路的计算,2022年11月20日星期日,
16、习 题（1）,P24410-7,电路,10-3 10-4,2022年11月20日星期日,10-3 空心变压器,变压器是电工、电子技术中常用电气设备，由两个耦合线圈绕在一个共同心子上制成，一个线圈作输入，接入电源后形成一个回路，称原边回路(或初级回路)；另一线圈作输出，接入负载形成另一回路，称副边回路(或次级回路)。空心变压器心子是非铁磁材料制成，其电路模型如图10-5，图中负载设为电阻和电感串联。变压器通过耦合作用，将原边的输入传递到副边输出。对图10-5，正弦稳态下，有,2022年11月20日星期日,空心变压器等效电路-1,令Z11=R1+jL1，称原边回路阻抗，Z22=R2+jL2+RL+
17、jXL，称副边回路阻抗，ZM=jM由上列方程可得其中Y11=1/Z11，Y22=1/Z22。式(10-5a)分母Z11+(M)2Y22原边输入阻抗，(M)2Y22称引入阻抗或反映阻抗；是副边回路阻抗通过互感反映到原边等效阻抗。引入阻抗性质与Z22相反，即感性(容性)变为容性(感性)。,10-3 空心变压器,2022年11月20日星期日,空心变压器等效电路-2,式(10-5a)可用图10-6(a)等效电路表示，称原边等效电路。同样分析式(10-5b)，可得图10-6(b) 等效电路，从副边看进去的含源一端口等效电路。令 可得此含源一端口在端子2-2开路电压戴维宁等效阻抗 Zeq=R2+jL2+(
18、M)2Y11。,10-3 空心变压器,2022年11月20日星期日,例 10-5（1）,图10-5电路，R1=R2=0，L1=5H，L2=1.2H，M=2H，u1=100cos(10t)V，负载阻抗为ZL=RL+jXL=3。求原副边电流i1、i2。解 用图10-6(a)原边等效回路求电流 Z11=jL1=j50令 电流 为,10-3 空心变压器,2022年11月20日星期日,例 10-5（2）,按式(10-4)，电流 为即有：,10-3 空心变压器,2022年11月20日星期日,10-4 理想变压器,理想变压器电路模型图10-7(a)，N1和N2分别为原边和副边匝数，原、副边电压和电流满足关系
19、 式中n=N1/N2，称理想变压器变比。理想变压器电压、电流方程是通过参数n(变比)描述的代数方程，理想变压器不是动态元件。,2022年11月20日星期日,理想变压器电路,将理想变压器两个方程相乘得 u1i1+u2i2=0 输入理想变压器瞬时功率等于零，既不耗能也不储能，将能量由原边全部传输到副边输出，仅将电压、电流按变比作数值变换。理想变压器用受控源表示的电路模型如图10-7(b)所示。,10-4 理想变压器,2022年11月20日星期日,例 10-6（1）,图10-8(a) 理想变压器，匝数比1：10，已知us=10cos(10t)V，R1=1，R2=100。求u2。解 按图(a)可列电路
20、方程： R1i1+u1=us R2i2+u2=0根据理想变压器VCR，有： i1=10i2 代入数据得 u2=-5us=-50cos(10t)V,10-4 理想变压器,2022年11月20日星期日,例 10-6（2）,另一种解法：先用原边等效电路求u1，再按电压方程求u2。端子1-1右侧电路输入电阻Req 等效电路如图(b)，得：,10-4 理想变压器,2022年11月20日星期日,理想变压器阻抗的变换,理想变压器对电压、电流按变比变换的作用，还反映在阻抗的变换上。在正弦稳态情况下，当理想变压器副边终端2-2接入阻抗ZL时，则变压器原边1-1的输入阻抗Z11n2ZL即为副边折合至原边的等效阻抗
21、，如副边分别 接入R、L、C时，折合至原边将为n2R、n2L、 也就是变换了元件的参数。,10-4 理想变压器,2022年11月20日星期日,第十章 重点概念,10-1 磁耦合,施感电流,线圈匝数,自感磁通链,互感磁通链,互感,同名端标记方法,耦合电感电压电流关系,互感电压前“+”或“-”号选取原则,耦合因数10-2 互感电路,反向串联,顺向串联,无互感等效电路,互感的“容性”效应,同侧并联电路,异侧并联电路,去耦等效电路,归纳去耦方法,等效电感与电流参考方向无关,2022年11月20日星期日,第十章 重点概念-1,10-3 变压器,原边回路(或初级回路),副边回路(或次级回路),原边回路阻抗,副边回路阻抗,称引入阻抗或反映阻抗10-4 理想变压器变比,输入理想变压器瞬时功率等于零既不耗能也不储能,副边折合至原边的等效阻抗,
