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1、一、一阶线性微分方程的概念与解的结构,第六章微分方程初步,第三节一阶线性微分方程,二、伯努利方程,定义 一阶微分方程的一般形式为,F(x, y, y) = 0.,一、一阶线性微分方程的概念与解的结构,一、一阶线性微分方程,一阶微分方程的下列形式,称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程.,其中P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数.,左边的每项中仅含 y 或 y，且均为 y 或 y 的一次项.,它的特点是：右边是已知函数，,称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，,0，则称方程 为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.,通常方程 称为方程 所对应的线性齐次方程.,若 Q (x)
2、,1.一阶线性齐次方程的解法,一阶线性齐次方程,是可分离变量方程.,两边积分，得,所以，方程的通解公式为,分离变量，得,例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解.,解所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x，,由通解公式即可得到方程的通解为,则,例 7求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始条件 y|x=1 = e 的特解.,解将所给方程化为如下形式：,这是一个线性齐次方程，,则,由通解公式得该方程的通解,将初始条件 y(1) = e 代入通解，,得 C = 1.,故所求特解为,2.一阶线性非齐次方程的解法,设 y = C(x)y1 是非
3、齐次方程的解，,将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其导数 y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程,则有,即,因 y1 是对应的线性齐次方程的解，,因此有,其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，,代入 y = C (x)y1 中，得,容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程,所以可以通过积分求得,且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程,的通解,在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为,于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：,上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定函数 C(x)，,再通过确定 C(
4、x) 而求得方程解的方法，称为常数变易法.,例 8 求方程 2y - y = ex 的通解.,解法一 使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为,将 y 及 y 代入该方程，得,设所给线性非齐次方程的解为,于是，有,因此，原方程的通解为,解法二 运用通解公式求解,将所给的方程改写成下列形式：,则,代入通解公式，得原方程的通解为,例 9 求解初值问题,解使用常数变易法求解,将所给的方程改写成下列形式：,则与其对应的线性齐次方程,的通解为,设所给线性非齐次方程的通解为,于是，有,将 y 及 y代入该方程，得,因此，原方程的通解为,将初始条件 y(p) = 1 代入，得 C = p，,所以，所求的特解，即初值问题的解为,例 10求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解.,解将原方程改写为,这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次方程，,它的自由项 Q(y) = 1.,代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有,即所求通解为,二、伯努利方程,称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方程；当n0或1时，该方程不是线性的，但是通过变量替换，可以把它化为线性的。,方程,如以yn除以方程两边，得,则,令,化简为,例 求方程,的通解.,
