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1、第十章 差分方程初步,第十章 差分方程初步,第一节 差分方程的基本概念第二节 一阶常系数线性差分方程第三节 二阶常系数线性差分方程第四节 n阶常系数线性差分方程第五节 差分方程在经济学中的应用,第一节 差分方程的基本概念,一.差分概念,给定函数,一阶差分,二阶差分,例1 求函数,的,解,二.差分方程,定义10.1,含有自变量,未知函数,以及,未知函数,的差分,的方程,称为差分方程.,出现在差分方程中的最高阶,差分的阶数,称为差分方程的阶.,定义10.2,含有自变量,和两个或两个以上,的函数值,的方程,称为差分方程.,出现在差分方程中的未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶.,注 两个定义不完全
2、等价,例如,二阶差分方程,一阶差分方程,一般用第二定义,三.差分方程的解,定义10.3,如果将已知函数,代入方程,使其对,成为恒等式,则称,为差分方程的解.,含有,个独立任意常数的解,称为通解.,在通解中给任意常数以确定的值而得到的解,称为差分方程的特解.,确定任意常数的条件,称为初始条件.,求部分一阶差分方程的通解.,本章中心任务,四.线性差分方程,如果,n阶线性齐次差分方程,如果,n阶线性非齐次差分方程,重点讨论,一般形式,认方程:,一阶线性常系数非齐次差分方程,二阶线性常系数非齐次差分方程,三阶线性齐次差分方程,定理10.1,五.线性差分方程解的基本定理,如果,是齐次线性差分方程,的 个
3、解,则它们的线性组合,(是任意常数),也是齐次线性差分方程的解.,定理10.2,n阶齐次线性差分方程有n个线性无关的解.,如果,是n阶齐次线性差分,方程的n个线性无关的解,则其通解为,(是任意常数).,定理10.3,n阶非齐次线性差分方程的通解等于其一个,特解与对应的齐次方程的通解之和.,例2 求方程,的通解.,解,齐次方程,两个线性无关的解,齐次方程通解,非齐次方程一个特解,非齐次方程通解,第二节 一阶常系数线性差分方程,一.一阶线性常系数齐次差分方程,一般形式,讨论:,设初始条件为,则,通解公式,二.一阶线性常系数非齐次差分方程,一般形式,讨论:,设初始条件为,则,附证:,是,的解,以下分
4、四种情况讨论,(1),通解为:,例1 求差分方程,的通解及在,下的特解.,解,由,得,通解为:,例2 求差分方程,的通解.,解,待定系数法做题步骤,(1)将方程中 的系数变为1;,(2)根据 的具体形式假定特解的形式;,(3)将假定的特解代入方程中确定待定系数;,(4)写出一阶线性常系数非齐次差分方程的,通解,(3),(是常数,为,次多项式),待定系数法求特解,其中,为待定系数.,例3 求差分方程,的通解.,解,设非齐次的特解为,代入非齐次方程得,齐次通解为,故非齐次的通解为,(4),都为已知常数,待定系数法求特解,其中,为待定系数.,例4 求差分方程,的通解.,解,设非齐次的特解为,代入非齐次方程得,齐次通解为,故非齐次的通解为,则非齐次的特解为,作业题,1.习题十(A)1、2、4、5、6、7.,2.习题十(B)1、2、4、5.,本章基本要求,1.了解差分与差分方程及其通解与特解的概念.,2.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.,3.会用差分方程求解简单的经济应用问题.,本章重点、难点,重点：一阶常系数线性差分方程的求解.,难点：高阶常系数线性差分方程的求解.,本章计划学时:2周(8学时),
