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1、6.2 二重积分的计算,一、二重积分的几何意义,前面我们已经知道：面密度为f (x,y)的平面簿片,的质量可以用二重积分表示为：,因为被积函数z=f (x,y)在几何上表示一空间曲面，假定,z=f (x,y) 0且在D上连续，下面我们将说明二重,D为底，以过D的边界曲线为准线而母线平行于z,轴的柱面为侧面，以曲面,的体积 .这样的空间立体,z=f(x,y)为顶的一空间立体,称为曲顶柱体.,分割,求曲顶柱体的体积 .的,通过分割、作乘积、,求和、取极限，,可得曲顶柱体的体积,就是曲顶柱体的体积.,在xoy平面的下方，二重积分的绝对值,是负的.,这些部分区域上曲顶柱体体积的代数和.,当f (x,y
2、) 为负时，柱体就,如果f (x,y) 在D内的某些部分区域是正的，,二、直角坐标系中二重积分的计算,D的表示法,1. 如果积分区域D可以表示为：,X型,X型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的,直线与区域边界相交不多于两个交点.,2. 如果积分区域D为：,Y型,Y型,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的,直线与区域边界相交不多于两个交点.,下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分,化为二次积分的方法，,在讨论中，假定f (x,y) 0， D为X-型.,y1(x0), y2(x0) 为底边，以曲线,的曲边梯形，此截面面积为,x且平行yoz面的平,面截曲顶柱体所得,截面面积为,任取x
3、 a,b，过点,在a,b上任取一点,x0 作平行于yoz面,截曲顶柱体所得截,面是一个以区间,z=f (x0 , y)为曲边,应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体,体积”的方法，得到,因此，二重积分,上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分，,把f(x,y) 看作变量y的函数，其积分结果是x的函数，,再对x计算在区间a,b上的定积分。,先对y后对x的二次积分通常又记为：,确定积分顺序时，应注意积分区域D为X-型的特点：,X型,类似地，当积分区域D为Y-型时，可得公式：,确定积分顺序时，应注意积分区域D为Y-型的特点：,Y型,注： 上面的公式当f (x,y) 0不满足时，公式亦成立.,注1
4、当积分区域D既是X-型又是Y-型区域 时，,上述两个不同顺序的二次积分的值相等.,即,注2 如果积分区域D既不是X-型又不是Y-型，则可,将D分成几部分，使得每个部分是X-型或Y-型。,解,例1 求 ，其中 是由抛物线,和 所围平面闭区域.,两曲线的交点,解 先画出积分区域D.,(1) 先对y后对x的二次积分，D应表示为：,它既是X-型，又是Y-型.,(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为：,解 (1)首先画出积分区域D，作先对x 后对y 的二次积分.,（2）作先对y后对x 的二次积分.,因为在-2,-1和-1，2上边界曲线y(x)表达式不同，,必须有直线x=-1将D分成D1和D2两部分，其中
5、,注1 在二重积分中适当选择积分秩序，积分可以简化.,所以该积分不能采用先对x 后对y 的积分顺序.,现改为先对y 后对x 的积分.,首先，根据所给积分确定,积分区域,改变积分顺序时，将D,表示为：,所以,注2 在二重积分中适当选择积分先后顺序，对某些,积分可以解决“积得出来”与“积不出来”的问题。,解,积分区域如图,例5 改变积分 的次序.,原式,解,积分区域如图,原式,例8 求由柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围成的立体体积.,解 由对称性知，其体积为,第一卦限部分的8倍.,解,例9 求由下列曲面所围成的立体体积,所围立体在 面上的投影是,所求体积,例10,解,先去掉绝对值符号，如
6、图,三、在极坐标系中的计算,由二重积分的定义可知；,现在用一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族,设 f (x,y)在D上连续，所以二重积分存在，,上式两端令,这就是直角坐标系的二重积分变换到极坐标系的,二重积分的公式。,下面研究在极坐标系中，二重积分化为二次积分。,1 极点在积分区域D的外部时,2 极点在积分区域D的内部时,3 极点在积分区域D的边界时,极坐标系下区域的面积,解,注: 极坐标系下能解决直角坐标系下,某些“积不出来”的二重积分.,例1 计算 ，其中D 是由中心在原点，,半径为a的圆周所围成的闭区域.,例2 求圆柱体,解 由于所求立体关于,xoy面、zox面对称，其体积,为第一卦 限部分体积的4倍。,第一卦限部分是一个曲顶柱,体，其顶为上半球面,解,例3 计算二重积分,其中积分区域为,由对称性,解,根据对称性有,例5 求曲线,和 所围成的图形的面积.,在极坐标系下,得交点,所求面积,
