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1、扩散问题的有限体积法,第七讲,流体仿真与应用,扩散问题的有限体积法,通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程,在应用有限体积法（控制容积法）进行数值求解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积分，将微分方程转化为积分方程，然后采用不同的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处理，从而得到不同的差分格式。,瞬变项,对流项,源项,扩散项,扩散问题的有限体积法,有限体积法求解过程,高斯定理,扩散问题的有限体积法,有限体积法输运方程的物理意义,总的变化率,外法线方向的对流通量,源项引起的的增加率,内法线方向的扩散通量,物理意义,因对流而引起的净减少量,扩散而引起的净增加量,物理意义,扩散问题的有限体积
2、法,稳态输运方程,非稳态输运方程,扩散问题的有限体积法,稳态纯扩散,一维稳态扩散问题的有限体积法,一维稳态纯扩散方程,节点划分（P点）,有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。,一维稳态扩散问题的有限体积法,控制容积的取法,方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）,方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划分控制容积）,一维稳态扩散问题的有限体积法,方程的离散,中心差分格式,一维稳态扩散问题的有限体积法,方程的离散,一维稳态扩散问题的有限体积法,方程离散的步骤,首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体积分转化为控制容积边界界面上的
3、面积分，然后通过对界面上的参数的近似而得到最终的离散方程。,对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心,方程的求解（举例）,在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线性方程组。求解该方程组即可得每个节点的 值。,二维稳态扩散问题的有限体积法,二维稳态纯扩散方程,节点划分,有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。,二维稳态扩散问题的有限体积法,控制方程在控制容积上积分,高斯定理把体积分转换为面积分得,x方向
4、e，w两个界面,y方向n，s两个界面,二维稳态扩散问题的有限体积法,三维稳态扩散问题的有限体积法,三维稳态纯扩散方程,节点划分,三维稳态扩散问题的有限体积法,三维稳态纯扩散离散方程,非稳态扩散问题的有限体积法,非稳态流动与传热的输运方程最通用的形式的积分方程,去掉对流项,一维非稳态扩散问题的有限体积法,一维非稳态问题的控制微分方程,节点划分,一维非稳态扩散问题的有限体积法,一维非稳态问题的控制微分方程,t时刻的温度,当前 时刻的节点温度,一维非稳态扩散问题的有限体积法,一维非稳态问题的控制微分方程,权系数,一维非稳态扩散问题的有限体积法,一维非稳态问题的控制微分方程,一维非稳态扩散问题的有限体
5、积法,显式格式,在计算中心节点温度 时，只用到了上一时刻的 ， ， 的值，因此它叫显式格式，可直接由初始温度分布计算出其它时刻的温度分布 。,一维非稳态扩散问题的有限体积法,显式格式稳定性条件,当 为常数，且采用均匀网格时,显式格式稳定性条件,当采用显式格式计算时，如果希望采用较小的空间步长以取得更为精确的结果，则时间步长将非常小。这将使得计算时间很长。因此，一般不推荐显式格式。,一维非稳态扩散问题的有限体积法,Crank-Nicolson格式（半隐式格式 ）,在计算中心节点温度 时， 用到了上一时刻的 ， ， 的值，也同时用到了当前时刻的 ， 的值（未知）。因此，它不能直接计算出结果，必须在
6、每个时刻联立求解所有节点的离散方程才能得到结果，所以它属于隐式格式。此格式被称为Crank-Nicolson格式，它是一种半隐格式。,一维非稳态扩散问题的有限体积法,半隐式格式稳定性条件,半隐式格式稳定性条件,Crank-Nicolson格式的稳定性条件与显式格式比，并没有很大的改善，但此格式采用是中心差分（对时间项），其截差为二阶，它的精度比显式格式好。,为保证计算结果物理上的真实性和有界性，式中各节点温度的系数须为正,一维非稳态扩散问题的有限体积法,全隐式格式,在计算中心节点温度 时，用到了当前时刻的 ， 的值（未知）。因此，它是全隐格式。在每个时刻，必须对所有节点的离散方程同时求解，才能
7、得到各节点的温度值，给定一个初始值，就可以逐时计算。该式中所有节点温度的系数都是正值，因此它是无条件稳定的。但它的精度是一阶（对时间项来说），所以要想提高计算精度，必须采用较小的步长。全隐式格式一般被推荐作为非稳态问题的格式。,多维非稳态扩散问题的有限体积法,三维非稳态问题的控制微分方程,全隐离散方程,多维非稳态扩散问题的有限体积法,三维非稳态问题,不同情况下的控制容积各界面面积计算,线性方程组的求解,一维稳态问题有限体积法离散得到的节点方程组通常都是三对角方程组,线性方程组的求解,TDMA（Tri-Diagonal Matrix Algorithm）算法,在边界节点， ， ，N为节点总数。由
8、上式可逐点写出节点计算公式，依次消去前一个节点的 ，最后可推导出下面的递推式：,取 ， ， ， 。由上式可向回一直计算到第一个节点。,I,线性方程组的求解,TDMA（Tri-Diagonal Matrix Algorithm）算法,计算过程,用式I计算出系数 ， 。,令 ；,用式I依次回代，计算 -,线性方程组的求解,TDMA算法 解决二维问题,离散方程,沿N-S方向进行计算,沿N-S方向逐行计算。W-E方向成为扫描方向（即先在 时计算完所有 点，再到下一个点 计算所有点 ，因而是从W-E扫描）。,线性方程组的求解,TDMA算法 解决二维问题,当离散方程 方向的系数远大于 方向的系数时，对 方向应用TDMA算法收敛比较快。当有对流时，扫描方向为从上游到下游的收敛速度比按相反方向扫描的收敛速度要快。,线性方程组的求解,迭代法,1）简单迭代法（Jacobi迭代）,收敛准则,线性方程组的求解,迭代法,1）高斯-塞德尔迭代法（Gauss-Seidel）,高斯-塞德尔迭代法比简单迭代法收敛快,线性方程组的求解,超松弛和欠松弛,超松弛和欠松弛是加快迭代速度的措施,在 时,为欠松驰或亚松驰,在 时,为超松驰,
