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1、水动力学计算若干问题2012年研究生暑期学校上海交通大学 薛雷平,提纲,数值计算要点有限体积法压力修正法大型稀疏方程组迭代求解,2023/7/1,2,1 数值计算要点,基本模型的选择计算方法的选择边界条件和计算流程的选择网格生成及其收敛性研究结果分析和总结,2023/7/1,3,1 数值计算要点,基本模型的选择 可压缩非定场粘性流动方程不可压缩NS方程+湍流模型（RANS）势流方程（理想流体）边界层方程2D简化、几何简化、定解条件简化适用范围?简化模型的误差估计?可通过典型算例不同层次的简化计算 得到合适的基本计算模型,2023/7/1,4,1 数值计算要点,计算方法的选择离散方法：有限体积，
2、有限差分，有限元计算格式：伪可压缩模型的时间推进法（显式），压力修正法（隐式）湍流模型、多相流及空化模型、数值造波消波,2023/7/1,5,1 数值计算要点,边界条件和计算流程的选择 边界位置及给出的边界条件并不一定要与实际问题完全一致 通过物理意义的考虑和试算得到能够简单实现，但又不使实际问题失真的边界条件 注意点：来流速度分布和湍流度 非远场出口边界条件 对称几何的非对称流动 空化流动时的压力条件的实现 计算流程：对于复杂问题，通常可以先计算物理、几何简化的初始解，逐步加入复杂性,2023/7/1,6,1 数值计算要点,网格生成 截断误差取决与于 网格间距 和 解的梯度，合理分布网格，通
3、过初步计算重新分布网格通常是必要的 粘性流动计算时边界层网格（最好是结构化网格），不同湍流模型对y+的要求网格收敛性研究 网格收敛性研究指采用不断加密的网格使解收敛 不是指采用某一密度的网格时解与实验值一致 这是获得可靠数值计算结果必不可少的步骤,2023/7/1,7,1 数值计算要点,结果分析和总结 数值计算结果分析与实验结果分析类似 尽量采用无量刚表达式 CFD不是colour fluid dynamics，少用云图，多用曲线 分析总结的层次：1：初步的定性规律（相关性和大小）2：进一步的定性规律（线性、幂次、指数，先用量纲分析和理论储备获得基本规律，多变量时考虑采用变量分离法）3：定量规
4、律（系数的拟合，加入特征点）4：分析定量规律背后的物理机理,2023/7/1,8,2023/7/1,9,2 有限体积法,流体力学基本方程的一般形式 对流扩散方程随体变化=时间变化+对流=扩散项+体积源项+面积源余项,2023/7/1,10,2 有限体积法,对流扩散方程的体积分形式 V为任意空间体积（控制体），F为体积V的表面该输运方程可由-微分方程体积分后直接由GAUSS积分公式得到，-也是控制体中物理量变化规律的描述,2023/7/1,11,2 有限体积法,将积分方程应用于一个微元有限体积,2023/7/1,12,2 有限体积法,对流项的离散 迎风格式+高阶修正,2023/7/1,13,2
5、有限体积法,扩散项的离散梯度格式,2023/7/1,14,2 有限体积法,扩散项的离散梯度格式,2023/7/1,15,2 有限体积法,扩散项的离散梯度格式,2023/7/1,16,2 有限体积法,有限体梯度项的数值计算,2023/7/1,17,2 有限体积法,时间变化项的离散,2 有限体积法,时间变化项的离散与对流项合并（对任意f:LP=P),2023/7/1,18,归纳可用于结构和非结构网格,2 有限体积法,2023/7/1,19,3 压力修正法,SIMPLE算法全名为压力耦合方程组的半隐式方法（Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equati
6、ons）被广泛使用的求解不可压缩流场的数值方法，于1972年由S.Patankar与B.Spalding提出原因：流体不可压缩假设使得扰动传播速度趋于无穷大，方程数学性质由双曲型变为椭圆型，根据特征线方法设计的气动计算方法无法直接使用特点：必须求解压力修正量的隐式方程，每个时间步必须多次迭代计算动量方程、压力修正方程及其他辅助方程；可直接进行定常计算（时间步长无穷大）,2023/7/1,20,3 压力修正法,来由1 速度由NS方程求得2 压力必须由连续性方程求得代入NS方程的p,必须使得解出的u满足连续性方程,2023/7/1,21,3 压力修正法,基本步骤0 假设初始解p*1 代入NS方程求
7、得速度初始解u*2 获得速度解与压力解的离散关系3 真解为初始解与修正解的叠加4 根据2：设,2023/7/1,22,5 该假设同样适用于控制面 f6 代入连续性方程若，跳出迭代,3 压力修正法,7 回顾 舍去非正交项可得 压力修正方程为,2023/7/1,23,3 压力修正法,8 隐式求得p，修正压力9 修正速度10 将p作为新的初始解p*，回步骤1备注：使用非交错网格时，计算控制面f的速度时，要考虑压力梯度的作用，否则会产生振荡解,2023/7/1,24,3 压力修正法,控制面体积流量计算归纳为,2023/7/1,25,4大型稀疏方程组迭代求解,线性方程组的迭代求解：采用迭代矩阵进行求解：
8、,2023/7/1,26,4大型稀疏方程组迭代求解,对M的要求：容易求逆M与A尽量接近 或 M*x与A*x 尽量接近Jacobi：M为A的主对角线Gauss-Seidl：M为A的主对角线+下三角元素,2023/7/1,27,4大型稀疏方程组迭代求解,非完全三角分裂法和SIPSIP:strongly implicit procedure，Stone1968针对结构网格上形成的5对角线（2D）或7对角线（2D）系数矩阵的高效迭代方法非完全上下三角分裂法的拓展,2023/7/1,28,4大型稀疏方程组迭代求解,5对角线系数矩阵,4大型稀疏方程组迭代求解,非完全上下三角矩阵分裂 M=L U=A+N,S
9、IP:要求 M A(A)P=且设 对比系数有,4大型稀疏方程组迭代求解,NW N W P E S SE,4大型稀疏方程组迭代求解,代入,4大型稀疏方程组迭代求解,可得=0 时，为普通的非完全三角分裂法,4大型稀疏方程组迭代求解,SIP方法的迭代矩阵M，可结合共轭梯度类方法结合，作为CG法（对称系数矩阵）以及BiCGSTAB（非对称系数矩阵）的前置优化矩阵使用。尤其对于多块结构化网格，可以取得更快的迭代收敛速度。,2023/7/1,35,谢谢！,2023/7/1,36,BICGSTAB主要思想,2023/7/1,37,2023/7/1,38,BICGSTAB主要思想,BICGSTAB计算流程,2023/7/1,39,BICGSTAB计算流程,2023/7/1,40,CG 计算流程,2023/7/1,41,
