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1、问 题 的 提 出,在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式-罚球 我们建立数学模型研究以下数学问题： 1) 先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。对不同的出手高度 h 和出手速度 v ，确定出手角度 和篮框的入射角度 ；,2) 考虑篮球和篮框的大小 ，讨论球心命中框心且球入框的条件。检查上面得到的出手角度 和篮框的入射角度 是否符合这个条件； 3） 为了使球入框， 球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)。讨论保证球入框的条件
2、下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；,模型假设,1、 假设求出手后不考虑自身的旋转2、不考虑篮球碰篮板或篮框入框3、不考虑空气阻力对篮球的影响时,符 号 设 定,d 篮球直径 D 篮框直径 L 罚球点和篮框中心的水平距离 H 篮框中心的高度 h 篮球运动员的出手高度 v 篮球运动员投篮出手速度 按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm.,问题的分析与模型的建立,1、问题1）的分析与模型的建立： 不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到
3、球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为 出手角度与 出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的 出手速度，出手高度，计算出手角度和入射角度。,罚球点投篮示意图,v,o,P,H,h,L,由于不考虑篮球和篮筐的大小,不考虑空气阻力的影响,从未出手时的球心 p为坐标愿点, x轴为水平方向, y轴为竖直方向,篮球在 t =0时以出手速度 v和出手角度 投出,可视为质点(球心)的斜抛运动,其运动方程 是我们熟知的 (1),其中 g是重力加速度.由此可得球心运动轨迹为如下抛物线 (2)以x=L,y=H-h 代入 （2）式,就得到球心命中框心的条件 （3） 可以看出
4、,给定出手速度 v和出手高度h ,有两个出手角度 a满足这个条件,而 （3）式有解的前提为 (4) 可对 v求解得 (5) 于是对于一定的高度h ,使(5)式等号成立的为最小出手速度 ,它是 h的减函数. 由(3)式计算出的两个出手角度记作 、 , 且设 ,可以看出, 是 h和v的增函数.,球入篮筐时的入射角 度 可从下式得到 (6)这里的导数由(2)式计算代入后可得 (7)于是对应于 、 ,有 、 .设 .,2、问题2)的分析与模型的建立： 考虑篮球和篮框的大小时，如图，篮球的直径d, 篮框的直径D。 显然，即使球心命中球框， 若入射角 太小，球会碰 o 到框的近侧A，不能入框。由 A D
5、B 图不难得出 应满足的球心应命中框心且球入框的条件。,(8)将d=24.6cm,D=45.0cm代入得 33.1度。前面计算结果中不满足这个条件的，当然应该去掉。,3、问题3）的分析与模型的建立： 球入框时，球心可以偏离框心，偏前（图 Q1）的最大距离为图中的 , 可以从入射角 算出. 根据 和球心轨迹中 x A B 与 的关系,能够得到 D 出手角度 允许的最大偏差 . 出手速度 v 允许的最大偏差 可以类似的处理.,由图看出,球入筐时球心可以偏前(偏后与偏前一样)的最大距离 为 （9） 为了得到出手角度允许的最大偏差 ,可以在(3)式中以 代替 重新计算,但是由于 中包含 ,从而也包含
6、所以这种方法不能解析的求出 .,如果从(2)式出发并将y=H-h代入,可得 （10） 对 求导并令x=L ,就有 （11）,用 近似代替左边的导数,即可得到出手角度的偏差 与 的如下关系 （12）由 和已经得到的 也容易计算相对偏差 .,类似的, (10)式对v求导并令x=L,可得到出手速度允许的最大偏差 (13) 由(12),(13)式v的相对偏差为 ( 14),模型的求解及结果分析,问题1)、2）的结果与分析： 1.对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使(5)式等号成立的 v为最小出手速度 ,在这个速度下由(3)式可得相应的出手角度 为 (15) 取出手高度 h=1.82.1(m)
7、,计算结果见下表,对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度,由此得出， 对应与最小出手速度是最小出手角度,他们均随着出手高度的增加而略有减小;出手速度一般不要小于8米/秒.2. 对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对出手速度v=8.09.0(m/s)和出手高度1.82.1(m),由(3)式计算出手角度 、 ，由（7）式计算入射角度 、 ，结果见下表2.,对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度,根据前面计算， 应大于33.1度才能保证球入框，这里的 均小于33.1度,不满足(8)式的条件,所以在考虑篮球和篮框大小的实际情况下,出手角度只能是 . 可以发现，速度一定时,出手高度
8、越大,出手角度应越大,但是随着速度的增加,高度对出手角度的影响变小,这种影响在 1度左右;出手高度一定时,速度越大,出手角度也应越大,速度的影响在79度. 。,模型3)的结果与分析： 分析出手角度和出手速度的最大偏差。利用（12）式和上面的 ，计算出手角度最大偏差 和 ，再利用（13）、（14）式计算出手速度的最大偏差 和 ，只将h=1.8, 2.0(m)的结果列入下表中。,出手角度和出手速度最大偏差,总的看来,允许偏差都相当小.进一步分析可知,速度越大,角度的允许偏差越小,而速度的允许偏差越大,且对角度的要求比对速度的 要求严格;出手速度一定时,高度越大,虽然也是角度的允许偏差越小,速度的允
9、许偏差越大,但这时对角度和速度的要求都相对较低.,模型的进一步讨论,当考虑空气阻力的影响时，出手角度有什么变化。 考虑水平方向的阻力时,应该用微分方程求解球心的运动轨迹,由于阻力很小,可作适当简化.然后与前面类似的作各种计算. 假设只考虑水平方向的阻力,且阻力与速度成正比,设比例系数为 k.这时水平方向的运动由微分方程 （16） 描述。,其解为 （17） 因为阻力不大( 不超过0.05每秒),时间t也很小 (约1秒),所以将(17)式中的 做泰勒展开后忽略二阶以上项得到(不考虑竖直方向的阻力,故 y(t)仍与(1)式相同) ，得到,（18） 在不考虑篮球和篮筐大小时,球心命中筐心的条件由方程组 （19） 确定. 类似于模型1）、2）的求解，即可求出对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度，这里不加详细讨论。,
