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1、,整數的運算 國立臺南大學數學教育系謝堅,整數的運算：整數的加法運算：整數的減法運算：整數的乘法運算：整數的除法運算：,整數的加法運算：正整數正整數：負整數負整數：正整數負整數：負整數正整數：,自然數(全數)加法模型：，()，()，()。,有兩個已知個數的集合，這兩個集合沒有共同的元素，當要確定這兩個集合的個數合起來是多少個時，就可以使用加法（數學模型）來替代點數解決問題。,正(負)整數正(負)整數：只要將(1)和(1)視為單位，正整數正整數和負整數負整數，都和全數加法的運算相同，都是點數單位個數的概念，只是點數的對象不同。,53是點數合起來有多少個1。(5)(3)是點數合起來有多少個(1)。
2、(5)(3)是點數合起來有多少個(1)。,5是由5個(1)合起來的3是由3個(1)合起來的(5)(3)85是由5個(1)合起來的3是由3個(1)合起來的(5)(3)8,正(負)整數負(正)整數：(1)和(1)是不同的單位，不能混合點數。 (1)(1)0，是整數加法的基本運算規則。,正(負)整數負(正)整數：有三種不同的數學模型：黑白子模型：輸贏(賺賠)模型：數線模型：,黑白子模型：(1)是黑子，(1)是白子，黑子碰到白子就會消失(變成0)。 (1)(1)0 。白子碰到黑子也會消失(變成0)。(1)(1)0 。,(a)是a個黑子，(a)是a個白子，a個黑子碰到a個白子會消失變成0。 ()()0
3、(a是自然數)。a個白子碰到a個黑子會消失變成0。()()0 (a是自然數) 。,5表示5個黑子(1)、3表示3個白子(1)，3個黑子和3個白子抵銷變成0，所以(5)(3)2。5表示5個白子、3表示3個黑子，3個白子和3個黑子抵銷變成0，所以(5)(3)2。,整數加法是否滿足交換律？(3)(5）(5)(3)(3)(5）(5)(3)(3)(5）(5)(3)abba(a，b是任意黑白子的個數),整數加法是否滿足結合律？ (5)(3)(7)(5)(3)(7)(ab)ca(bc)(a、b、c是任意黑白子的個數),輸贏(賺賠)模型：(1)是賺1元，(1)是賠1元，賺1元，賠1元，合起來不賺不賠，。(1)
4、(1)0賠1元，賺1元，合起來不賺不賠，。 (1)(1)0,賺a元，賠a元，合起來不賺不賠，。(a)(a)0(a是自然數)賺a元，賠a元，合起來不賺不賠，。(a)(a)0(a是自然數),甲贏50元、乙輸30元，兩個人合起來贏(輸)多少錢？(50)(30)20甲輸50元、乙贏30元，兩個人合起來贏(輸)多少錢？ (50)(30)20,甲贏50元、乙贏30元，兩個人合起來贏多少錢？(50)(30)80甲輸50元、乙輸30元，兩個人合起來輸多少錢？(50)(30)80,整數加法是否滿足交換律？(3)(5）(5)(3)(3)(5）(5)(3)(3)(5）(5)(3)abbaa、b、c是整數(贏或輸的錢
5、),整數加法是否滿足結合律？(5)(3)(7)(5)(3)(7)(ab)ca(bc)a、b、c是整數(贏或輸的錢),數線(向量)模型：(1)代表向右走1個單位，(1)代表向左走1個單位，先向右再向左走1個單位還在原點，(1)(1)0 。先向左再向右走1個單位還在原點，(1)(1)0 。,a代表向右走a個單位，a代表向左走a個單位(a是自然數)，先向右再向左走1個單位還在原點，(a)(a)0(a是自然數)先向左再向右走1個單位還在原點，(a)(a)0(a是自然數),正整數的向右走(正向量)、負整數向左走(負向量)，左右(正、負向量)可以抵消。,(50)(30)20(50)(30)20,整數加法是
6、否滿足交換律？(3)(5）(5)(3)(3)(5）(5)(3)(3)(5）(5)(3)abba(a，b是向左或向右走的單位個數),整數加法是否滿足結合律？(5)(3)(7)(5)(3)(7)(ab)ca(bc)a、b、c是整數(向左或向右走的單位個數),整數的減法運算：正整數正整數：負整數負整數：正整數負整數：負整數正整數：,自然數(全數)減法模型：.，.n()，n()，.()。比較型問題可以轉換成拿走型問題,拿走型問題： 甲有8個蘋果，給了乙5個蘋果，還剩下多少個蘋果？比較型問題： 甲有8個蘋果，乙有5個蘋果， 兩個人相差多少個蘋果？,比較型問題 拿走型問題 ( ) 85(比較)85(拿走)
7、 自8個紅圈中拿走和綠圈對應的那5個紅圈。,( ) 53(比較)53(拿走)自5個紅圈中拿走和綠色三角形對應的3個紅圈。,自然數只有一個單位(1)，全數的加減建立在點數個數的基礎上。5(個1)和3(個1)合起來是8 (個1) ，因此538。5(個1)裡面可以拿走3(個1)，因此532。,整數有兩個單位(1和1)，面對拿走同單位問題時可以類比自然數減法模型處理嗎？,同單位整數的減法：5個(1)拿走3個(1)之後剩下2個，所以(5)(3)2。5個(1)拿走3個(1)之後剩下2個，所以(5)(3)2。上述情境可以類比自然數減法模型,5個(1)中無法拿走8個(1)。5個(1)中無法拿走8個(1)。上述
8、情境無法類比自然數減法模型日常生活中，存在這些情境嗎？需要發展新的減法模型嗎？,不同單位整數的減法：5(個1)裡面無法拿走3(個1)，5(個1)裡面無法拿走3(個1)，日常生活中，存在這些情境嗎？需要發展新的減法模型嗎？,甲贏50(30)元、乙贏30(50)元甲輸50(30)元、乙輸30(50)元甲贏30(50)元、乙輸50(30)元甲輸50(30)元、乙贏30(50)元甲比乙多贏(輸)多少錢？可以有那些解題策略？,自然數情境，拿走型問題比較簡單，適合首次引入，當做自然數減法的模型很恰當（日常生活中拿走型問題及比較型問題都經常出現）。整數情境，日常生活中較常見的是比較型問題，可以改用比較型問題
9、當做整數減法的模型。,黑白子模型：輸贏(賺賠)模型：數線模型：上面這三種整數加法的模型那一種適合擴充至整數減法？那一種最有效率？,黑白子策略：5(8)個黑子中無法拿走8(5)個白子。無法比較5個黑子比8個白子多幾個黑(白)子。不易擴充至整數減法模型。,輸贏(賺賠)策略：甲賺3元，乙賠2元：甲比乙多賺5元，記成(3)(2)5乙比甲多賠5元，記成(2)(3)5,甲賠3元，乙賺2元：甲比乙多賠5元，記成(3)(2)5乙比甲多賺5元，記成(2)(3)5,甲賺3元，乙賺2元：甲比乙多賺1元，記成(3)(2)1乙比甲多賠1元，記成(2)(3)1,甲賠3元，乙賠2元：甲比乙多賠1元，記成(3)(2)5乙比甲
10、多賺1元，記成(2)(3)1,減法是否滿足交換律？(3)(2)(2)(3)(3)(2)(2)(3)(3)(2)(2)(3) (3)(2)(2)(3)a、b是整數(贏或輸的錢),整數加法是否滿足結合律？(5)(3)(7)(5)(3)(7)(ab)ca(bc)a、b、c是整數(贏或輸的錢),數線策略：點數數線上兩個點中間有多少個單位(比較型)，再透過向量的概念決定答案是正的或是負的(基準量與比較量的差量)。如果只管距離，就是絕對值的概念。,(5)(3)8 3 0 5(5)(3)8,(3)(5)8 3 0 5(3)(5)8,將減法運算視為加法運算：aba(b)a，b都是整數也可以將除法運算視為乘法運
11、算aba(1/b)a，b都是整數,（5）(3)(5)(3)(5)(3) （5）(3)(5)(3)(5)(3),（5）(3)(5)(3)(5)(3) （5）(3)(5)(3)(5)(3),整數的乘法運算正整數 正整數：負整數 正整數：負整數 負整數：正整數 負整數：,乘數是正整數：當乘數是正整數時，不論被乘數是正整數或負整數，都可以透過正、負整數的加法概念引入。,(7)4(7)(7)(7)(7)28 (7)4(7)(7)(7)(7)28,乘數是負整數：當乘數是負數時，必須引入時間順序(穿衣與脫衣)概念。,水庫水位現在高200公分：水庫水位每天升高3公分，5天後升高(或降低)幾公分(和現在水位比)
12、 ？記成：(3)(5）15水庫水位每天升高3公分，5天前升高(或降低)幾公分(和現在水位比) ？記成：(3)(5）15,水庫水位現在高200公分：水庫水位每天降低3公分，5天後升高(或降低)幾公分(和現在水位比)？記成：(3)(5）15水庫水位每天降低3公分，5天前升高(或降低)幾公分(和現在水位比)？ 記成：(3)(5）15,甲現有1萬元：甲每天賺500元，7天後共賺(或賠)多少錢(和現有的錢比較)？記成：(500)(7）3500甲每天賠500元，7天後共賺(或賠)多少錢(和現有的錢比較) ？記成：(500)(7）3500,甲現有1萬元：甲每天賺500元，7天前共賺(或賠)多少錢(和現有的錢比較) ？記成：(500)(7）3500甲每天賠500元，7天前共賺(或賠)多少錢(和現有的錢比較) ？記成：(500)(7）3500,整數乘法為什麼負負得正？ (3)(5)(5)0 (3)(5)(3)(5)0 15(3)(5)0 (3)(5)15 (3)(5),整數的除法運算正整數 正整數：負整數 正整數：負整數 負整數：正整數 負整數：,除法運算(沒有餘數類型)：將除法運算視為乘法運算aba(1/b)a，b都是整數,除法運算(有餘數類型)：(7)(3)(2).(1)(7)(3)(2).(1)(7)(3)(3).(2)何者是合理的答案,.0(，是自然數).0(，是自然數),
