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1、二次函数复习,注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.,1.二次函数的定义：,形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a0）的函数叫做二次函数,自变量x的取值范围是：任意实数,回顾总结,2.二次函数的表达式：（1 ）二次函数的一般形式:函数yax2bxc（a0)注意：它的特殊形式： 当b0，c0时： yax2 当b0时： yax2c 当c0时： yax2bx（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a0)（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a0),二次函数解析式,二次函数的解析式有两种形式：一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a0)
2、顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a0)当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为一般式，列出三元一次方程组求出待定系数。当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式求出待定系数。,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大
3、而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,归纳,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,观察,共同点:,不同点:,开口都向上;,顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a|越大，,在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。,在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。,抛物线的开口越小。,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,观察,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?,共同点:
4、,开口都向下;,不同点:,顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a| 越大，,在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。,在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。,抛物线的开口越小,二次函数的图象,图象：是一条抛物线。图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。（2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最高点）。,【考点链接】,二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的关系,二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象向上（或向下）平移得到：当k0时，抛物线y=ax2向上平移k的绝对值个单位，得y=ax2+k当k0时，抛物线y=ax2向下平移k的绝对值
5、个单位，得y=ax2+k,y=2x2,y=2x2-2,y=2x2+2,二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h) 2的图象的关系,二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图象向左（或向右）平移得到：当h0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h) 2当h0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位，得y=a(x-h) 2,二次函数y=ax2的图象与二次函数y=a(x-h) 2+k的图象的关系,二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.,二次函数的图象
6、及性质,当a0时开口向上，当a0时开口向下,(0,0),(0,c),(h,0),(h,k),直线,y轴,直线,直线,在对称轴左侧，y随x的增大而减小,在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大,在对称轴右侧，y随x的增大而减小,y轴,知识回顾,（3）开口方向：当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛物线开口向下。,（1）顶点坐标,（2）对称轴是直线,如果a0，当,时，函数有最小值，,如果a0，当,时，函数有最大值，,（4）最值：,若a0，当,时，y随x的增大而增大；,当,时，y随x的增大而减小。,若a0，当,时，y随x的增大而减小；,当,时，y随x的增大而增大。,（5
7、）增减性：,与y轴的交点坐标为（0，c）,(6)抛物线,与坐标轴的交点,抛物线,抛物线,与x轴的交点坐标为,，其中,为方程,的两实数根,与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程,(7)抛物线,的根的判别式判定：, 0有两个交点抛物线与x轴相交；, 0有一个交点抛物线与x轴相切；, 0没有交点抛物线与x轴相离。,例4 已知抛物线,k取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在y轴上；k取何值时，抛物线顶点在x轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。,，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。,，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；,抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即,解：抛物线
8、经过原点，则当x0时，y0，所以,，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即,，整理得,，解得：,由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。,所以当x2时， 。,解法一（配方法）：,例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？,因为所以当x2时， 。,因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值，,总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法,解法二（公式法）：,又,例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。,解法一： ，,抛物线开口
9、向下，, 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。,解法二：,，抛物线开口向下，, 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。,例7 已知二次函数,的最大值是0，求此函数的解析式,解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组,由解方程得,所求函数解析式为,。,相等，则形状相同。,(1)a决定抛物线形状及开口方向，若,a0开口向上；,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用。,a0开口向下。,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用。,(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线,若a，b异号对称轴在y轴右侧。,，故,若
10、b0对称轴为y轴，,若a，b同号对称轴在y轴左侧，,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用。,(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。,当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)，,c0抛物线经过原点；,c0与y轴交于正半轴；,c0与y轴交于负半轴。,例8 已知如图是二次函数yax2bxc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc,分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用,解：(1)因为抛物线开口向下，所以a0；,判断
11、a的符号,(2)因为对称轴在y轴右侧，所以,，而a0，故b0；,判断b的符号,(3)因为x0时，yc，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c0；,判断c的符号,(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标,，且a0，所以,，故,。,判断b24ac的符号,，且a0，所以b2a，故2ab0；,(5)因为顶点横坐标小于1，即,判断2ab的符号,(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a12b1c0，故abc0；,判断abc的符号,(7)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故abc0,判断abc的符号,1、下列函数中，是二次函数的
12、是 . ,2.当m_时,函数y=(m+1) - 2+1 是 二次函数？, ,=2,知识重现,4、抛物线 的顶点是(2,3)，则m= ,n= ;当x 时,y随x的增大而增大。,5、已知二次函数 的最小值为1，则m= 。,3、抛物线y=x2+2x 3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最_值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。,判断正负性,a+b+c 0,ab+c 0,b2-4ac 0,自主探究,练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号,练习：抛物线yax2bxc的顶点在第一象限，且与x轴交于点A，且与y轴交于点C，点C在线段OB上。点A、B的坐标为(1，0), (0，1)。试确定下列代数
13、式的符号？,(1)a，（2）b，（3）c，,（4）abc,（5）abc,（6）ab1,解：（1）设这个函数的解析式为 y=ax2+bx+c, 依题意得:,解这个方程组得,这个函数的解析式是：y=x2-4x+3,典型例题,(2)抛物线顶点为M(1,2)且过点N(2,1),练习：根据下列已知条件，求二次函数的解析式：,(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5),(3)抛物线过原点，且过点(3,27),(4)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。,(5)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0）， 最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式,46,(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点C除外），使ABP面积等于ABC面积?,解：假设存在满足条件的点P，则作PQx轴 SABp = SABC, ABPQ/2= ABOC/2, PQ=CO=3, |y|=3，, 3= -x2+2x+3, x1=0,x2=2 。p(2,3),或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0 x=17，p(1+7,-3),p(1-7 ,-3),x,y,0,3,B,-1,C,3,P,Q,拓展,A,
