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1、例4-2-2,要求画出根轨迹。,某单位反馈系统,分析：1个开环零点，3个开环极点，,-5,-2,-1,0,3 绘制根轨迹图的基本规则,规则一、,根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。,根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。,闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。,闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次 = 开环传递函数的阶次,= 开环极点数,例,规则二、,根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。,根轨迹是Kr从0时的根变化轨迹，因此必须 起始于Kr
2、=0处，终止于Kr=处。,观察幅值条件：,分三种情况讨论：,如果n = m，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。,如果n m, m条根轨迹趋向开环的m 个零点（称为有限零点）,而另n-m条根轨迹趋向无穷远处（称为有限零点）。,对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。,如果n m, 即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。,*规则三、,根轨迹的对称性
3、：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴。,证明：（1）连续性,系统开环根轨迹增益 Kr (实变量）与复变量s有一一对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。,证明：（2）对称性,由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此,根轨迹总是对称于实轴的。,规则四、,实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。,例如系统的开环零、极点分布如图。,1,2,5,要判断 和 之间的线段是否存在根轨迹，取实验点,开环共轭极点和零点提供的相
4、角相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的开环零极点决定。,处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。,奇数个，无论如何加减组合，总能使l(l=1,3,)成立。,对于例题，,在实轴上的根轨迹：,一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处。,规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数,1,2,5,渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。,渐近线与实轴的夹角为：,渐近线与实轴的交点为：,l它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状,规则五、,证明
5、：,见图4-5。, 对于位于根轨迹上某一动点s0，, 从各开环零极点到这一点的向 量的相角随s0轨迹的变化而变化，, 当s0到达无穷远处，各相角相等， 令其为，可写成：, 进而求出渐近线夹角：,由对称性知，,渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。,按照重心的求法，可求知交点的坐标,对例4-2-2，,交点坐标为：,即（1，j0）。,渐近线与实轴夹角为：,规则六、,当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点或会合点，大多发生在实轴上（仅讨论实根）。,性质：,在此点上必出现重根。,利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻极点间时，必有一分离点。,若当根轨迹出现在两相
6、邻零点间（包括无穷远零 点）时，必有一会合点。,根轨迹的分离点与会合点：分离点与会合点是方程式 的根。,根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴区域的极值。 分离点最大值，会合点最小值。,由求极值的公式求出：,它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者),在实轴根轨迹上，求使Kr达到最大（最小）值的s 值:,注意：求出结果，需经判断，保留合理解。如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。,求出重根角为:,在例题4-2-2中，,解出：,对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-0.447,j0）处。,求出重根角为:,规则七、,根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值利用劳斯判据求出。,根轨
7、迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。,在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：,即：,劳斯行列式,当6-2Kr=0时，特征方程出现共轭虚根，求出Kr=3。,虚根可利用s2行的辅助方程求出：,与虚轴的交点,与虚轴的交点为,例4-2-2的根轨迹如图。,Kr=.084,1、画出开环零极点,2、确定根轨迹根数,3、画出实轴上的根轨迹,4、求渐进线（nm）,5、求分离点,6、求与虚轴交点,7、画出根轨迹,8、求出特殊点对应的Kr值,规则九：Kr值由根轨迹幅值条件求出：,如分离点（-0.447，j0）处的Kr值：,规则八、,根轨迹的出射角：,在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为：,在开环
8、复数零点zy处，根轨迹的入射角为：,若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。,证明：,设一系统的开环零、极点分布如图所示，,点为从 出发的根轨迹上一点。该点到所有零极点的应符合相角条件：,l而p1、p2、p4、z都分别趋近于各开环零极点相对于P3点的向量的相角。,此时，出射角 可以计算：,同理可证明入射角。,例4-2-3,设系统开环零极点图如图4-7。,其中,确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。,根据公式：,考虑到根轨迹的对称性,出射角p3= -5，p4= 5,例,根轨迹起始角,-1,-2,1=108.5,90,59 ,37 ,19 ,56.5
9、,P2,P3,P4,P1,Z3,Z2,Z1,90 ,121 ,153 ,199 ,63.5 ,117 ,P2,P3,P4,P1,Z3,Z2,Z1,根轨迹终止角,（k=-1）,根轨迹示例1,根轨迹示例2,j,0,n=1;d=conv(1 2 0,1 2 2);rlocus(n,d),n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d),例4-2-4,作 的根轨迹。,开环极点3个：,分析：n=3，m=0, 没有开环零点。,(在s平面上的极点处标以“”),根据规则一、二 、三 ：,根据规则四，实轴上0-为根轨迹。,分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远处。,根轨迹有三个分支：
10、,图4-8,根据规则五，求渐近线:n-m=3条,例4-2-4,渐近线与实轴夹角：,渐近线与实轴的交点：,-2.767,60,没有分离点。,例4-2-4,根据规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。,闭环特征方程：,Kr=256，必对应于一对纯虚根,以 的系数构成辅助方程:,例4-2-4,根据规则八求出射角：,对P2，根轨迹的出射角为：,由对称性知：-4-j4处的射角为45,根轨迹完成。,例4-2-5,作 的根轨迹。,该系统 n=3 ，m=1。,根据规则一、二、三：,一个零点：,有三个开环极点：,该根轨迹有三个分支,分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，,有一个分支终止于z = -1,另两个分
11、支趋于无穷远。,根据规则四： 实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。,例4-2-5,根据规则五：渐近线有2条，n-m2。,-5.5,渐近线夹角：,渐近线与实轴的交点：,例4-2-5,根据规则七、求根轨迹与虚轴的交点。,闭环特征方程是：,Kr0时，第一列元素都为正值，根轨迹与虚轴交点于Kr=0处。,例4-2-5,根据规则六、求分离点和会合点,则：,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。,可知一部分根轨迹为圆。据此，可画出根轨迹。,均在根轨迹上。,大Kr分离点，小Kr会合点。,求出重根角为:,例4-2-5,利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的Kr值。,s1是分离点，s2是会合点。,完
12、整的绘出根轨迹如图4-9所示。,图4-9,作业：4-1，4-2，4-3看书p151，表4-1常规根轨迹。,s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。,例4-2-6,根据规则一、二、三、有四个极点：,p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2,分析：n=4，m=0。,该根轨迹共有四个分支，,-2,P1,P2,P3,P4,根据规则四、实轴上存在根轨迹是从-2到0之间。,终止于无穷远。,分别起始于p1, p2, p3,4，,例4-2-6,根据规则五、n-m=4条渐近线,与实轴交点：,渐近线相角分别为：,p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2,-1,根据规则八、计算出射角和入射角。,例4-2-6,复数极点p3= -1+j2的出射角：,复数极点p4：,4= -1-j2 的出射角为90,p1=0, p2= -2, p3,4= -1j2,p3= -1j2,例4-2-6,根据规则七、求出根轨迹与虚轴的交点,特征方程：,必对应于虚根,构造辅助方程：,求出：,时，第一列元素都为正值,例4-2-6,根据规则六、求根轨迹的分离点和会合点（重根点）,均是根轨迹的重根点，后者符合相角条件。,完整的根轨迹见图4-10所示。,图4-10,
