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1、,曲 线 积 分 (L: ),对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,联系,计算,三代一定,二代一定 (与方向有关),复 习,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,Y型,X型,如果积分区域为：,如果积分区域为：,外限定限方法-投影法,内限定限方法-平行线穿越法,2.二重积分的计算步骤及注意事项, 画出积分域写出边界曲线的方程,并求出交点坐标., 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,积分域分块要少,累次积好算为妙,（充分利用对称性几何意义和性质）,外限定限方法-投影法,内限定限方法-平行线穿越法,3.二重积分的应用, 可求平面图形D的面积, 可求曲顶柱体的体积.,
2、3 格林公式曲线积分与路线的无关性,一、格林公式,二、曲线积分与路线的无关性,一、介绍两个概念,设D为平面区域,复连通区域,单连通区域,1.单（复）连通区域：,D上有“洞”眼,的部分都属于D,复连通区域.,否则称为,如果D内任一闭曲线所围成,则称D为平面单连通区域,2.有界闭区域D的边界曲线L的正向:,边界曲线的逆时针方向为正向;,对于平面单连通区域,边界曲线的外圈,逆时针方向为正向,对于平面复连通区域,边界曲线的里圈,顺时针方向为正向.,当观察者沿边界行走时,区域D总在它的左边.,有连续的一阶偏导数, 则有,(1),这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.,公式(1)称为格林公式.,
3、分析:,欲证,只须证,及,(1)若区域D既是X-型区域，,又是Y-型区域,证明:,同理可证,两式相加得,证明(2),D,若区域D由分段光滑,的闭曲线围成，,如图,将D分成三个既是X-型又是,Y-型的区域,A,C,B,证明(3),若区域D是复连通区域(如图)，,边界是,添加直线段AB，,可以把区域D看,成是由边界曲线,所围成的单连通区域，,由(2)知,格林公式;,(1)格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广，,其中L是D的正向边界曲线(有向性).,D是有界闭区域(封,在D上有一阶连续偏导数(连续性).,区域上的二重积分与区域边界上的线积分的联系.,注意：,(2) 公式的记忆方法：,沟通了,(3)对复连
4、通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部,边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向,闭性),(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有:,格林公式;,(5) 格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算.,(6)如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别,点上一阶偏导数不连续，,格林公式不能直接使用，,此时往往需添加辅助线，,然后再作计算.,例1.,L为由点(a,0) 到(0,0)的上半圆周,解:,L,如图，,D,添加辅助线：,2.注意定理使用的条件.,说明：,有向性；,连续性；,封闭性.,格林公式;,例2.,计算,其中曲线AB是半径为r的圆在第一,象
5、限的部分,顺时针方向.,解:,引入辅助曲线，,例3.,的分段光滑的连续闭曲线，,L的方向为逆时针方向.,L,解:,记L所围的闭区域为D，,令,由格林公式知，,其中L为一无重点且不过原点,作位于D内圆周,其中 l 的方向取逆时针方向.,应用格林公式,得,结论:利用格林公式计算,L闭 合,L非 闭,用格林公式计算二重积分,例4.,1,解:,1,因此, 由格林公式有,SD 的公式:,总结:,(1)(2)(3),(4),0.,问题：,终点也相同，,被积函数相同，,但路径不同而积分结果相同.,起点和,例.,计算,其中L为,(1)抛物线,上从o(0,0)到B(1,1)的一段弧；,(2)抛物线,上从o(0,
6、0)到B(1,1)的一段弧；,(3)有向折线OAB，,这里OAB依次是(0,0),(1,0)(1,1)；,(4)闭曲线OABO.,回 顾,3.平面上曲线积分与路径无关的条件,（一）曲线积分与路径无关的定义,即只与起点和终点有关.,则称曲线积分,与路径无关.,否则与路径有关.,G,显然,任意的闭曲线,如果在区域G内对任意的 有,在G内,定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数,在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以,下四个条件等价:,(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有,(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;,
7、即在 D 内有,(iv) 在 D 内处处成立,A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得,所以,一点处都有,以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每,解：,例 5.,计算,为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线,其中L,因为,则,在 平面上成立.,选择如图所示的路径,选择新路径应注意：,（3）一般选与坐标轴平行的新路径.,（1）新路径的起点与终点不变,（2）,解：,例6.,选择如图所示的路径,设曲线积分,与路径无关，,具有连续的导数，,由已知知,即,由,知C=0,则,故原式=,多元函数的原函数：,由此,可以求某个全微分的原函数，,并且原函数不唯一,例7 试应用曲线积分求,的原函数.,解 这里,在整个平面上成立,由定理21.12, 曲线积分,只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.,线段 于是有,作业：P232:1(1)(2),5(2) 6(1),
