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1、5.2 中心极限定理,一. 中心极限定理的定义与意义,引例：高尔顿钉板试验,定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, 的分布函数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), , 若极限式,在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变量序列Xk, k = 1,2,依分布收敛于X .,记为,定义5.2.2（中心极限定理）设随机变量 Xk，k = 1,2,相互独立，有有限数学期望和方差.若随机变量序列,标准化,对yR一致地有,称随机变量序列 Xk服从中心极限定理.,依分布收敛于标准正态分布随机变量X；,注2 解释了现实中哪些随机变量可看服从正态分布；,若随机变量序列Xk ，k =
2、1,2,服从中心极限定理，有,故当n 足够大时，可以认为,近似成立，或,近似成立.,许多相互独立的微小因素Xk的叠加总和.,注3 给出了概率的近似计算公式.,若随机变量序列Xk ，k = 1,2,服从中心极限定理，则有,定理5.2.1（林德伯格列维定理或 独立同分布中心极限定理）,二. 中心极限定理,设 Xk , k =1,2为相互独立, 具有相同分布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2, 则 Xk 满足中心极限定理，即 有,装车问题,重复试验次数估计,报亭售报问题,高尔顿钉板试验,定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）,设随机变量序列 Yn ，Yn
3、B( n, p ) ，n =1,2，,对于任意的实数 x ，有,证明,对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为,Yn = X1 X2 Xn,其中Xi B( 1, p )，相互独立，并且 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1p),相互独立同分布的随机变量序列 Xi , i =1,2,满足中心极限定理. 即有,结论成立.,若X B( n, p )，对于足够大的n，有,标准化,航船的稳定性,产品抽检件数,中心极限定理应用实例,将一个小球投入无限大高尔顿钉板内,小球各以 的概率向左或向右移动一格.,例5.2.1 随机游动(高尔顿钉板试验),Xk, kN+ 是相互独立同分布随机变量序列
4、，令,有,小球在第n 次碰撞后所处位置,试验演示,依分布收敛于标准正态分布随机变量.,由林德伯格列维定理有,例5.2.2 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，试用中心极定理来估计 n ，使下式成立.,其中 A = 出现正面 ,解 有P( A )=1/2，令,则随机变量序列 Xi ，i = 1,2,是相互独立且同分布的. 而且有,所以随机变量序列 Xi ，满足独立同分布中心极限定律.,解得 n 16,641 (次) (250,000次),例5.2.3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克. 若用最大载重量为5吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最
5、多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.,解 设Xi ，i=1,2,n 是装运的第i 箱重量(单位:千克), n是所求箱数.,n 箱的总重量为,可将Xi ，i=1,2,n 视为独立同分布的随机变量.,由林德伯格列维定理知，Tn 近似服从正态分布 .,故,解得,即一辆车最多可以装98箱.,例5.2.4 路边有一个售报亭, 每个过路人在报亭买报的概率是 1/3, 求: 正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概率。,解 设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人数, Xi 是售出第 i 1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数, 则,并且随机变量 X1,
6、 X2, , X100 独立同分布, 具有分布律:,因,i = 1, 2, , 100;,根据林德伯格列维定理, 所求概率,例5.2.5 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3的概率为 p = 1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有 29600 30500 次纵摇角大于3的概率是多少？,解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，记 X 为90000次冲击下纵摇角大于3的次数，故有,由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 所求事件的概率,例5.2.6 随机抽查验收产品, 如果在一批产品中查出10个以上的次品, 则拒绝接收.问至少检查多少个产品, 能保证次品率为 10
7、%的一批产品被拒收的概率不低于0.9,解 设检查的产品数为 n, 查出的次品数为X, 则X B( n, 0.1) , 按题意, 有,P 10Xn 0.9,由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有,P 10Xn ,于是,故,求解得 n146.8 或 n68.3，,所以至少取 n = 147 能够保证要求.,应用范例,在计算机模拟试验中，常利用12个相互独立同分布，都在（0，1）上服从均匀分布的随机变量X1, X2, , X12之和的标准化随机变量,作为标准正态分布的随机变量.,根据林德伯格列维定理, Y应近似服从标准正态分布.,事实上二者的概率密度几乎无区别.,例如X1, X2,X3相互独立，都在(0，1)上均匀分布，则S3= X1+X2+X3的概率密度为,将S3标准化：,其概率密度为：,
