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1、概率论与数理统计知识点框架,2015.6.7制作,教 学 内 容,第一章 随机事件及其概率第二章 随机变量及其分布 第三章 随机变量的数字特征第四章 大数定律与中心极限定理,第一章 随机事件及其概率,随机事件,概率,1.事件的概念及种类 2.事件发生的含义,3.事件的关系 4.事件的运算 5.运算的性质,1.事件的独立性,事件的独立性与伯努利概型,条件概率与全概公式,2.伯努利概型,1.概率的古典定义2.概率的公理化定义3.概率的性质,1.条件概率 2.乘法公式3.全概公式 4.逆概公式（贝叶斯公式）,例：某工厂有四个车间生产同一种计算机配件，四个车间的产量分别占总产量的15%、20%、 30
2、%和35%，已知这四个车间的次品率依次为0.04、0.03、0.02及0.01现在从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？,例：第一个箱中有10个球，其中8个事白球；第二个箱中有20个球，其中4个是白的.现从每个箱中任取一球，然后从这两球中任取一球，取到白球的概率是多少？,例 设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10及2/5.如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为1/4，1/3，1/12.已知此人迟到，试推断他是怎样来的？,第二章 随机变量及其分布,离散型随机变量及其分布,连续性随机变量及其分布,
3、随机变量与分布函数,1.离散型随机变量的分布,1.随机变量的概念 2.分布函数概念及其性质,二维随机变量,2.几种常见的离散型随机变量分布,1.联合分布与边缘分布,2.随机变量的独立性,随机变量函数的分布,1.概率密度概念及其性质,2.几种常见的连续型随机变量的分布,1.一维随机变量函数的分布,2.二维随机变量函数的分布（离散型）,例： 设随机变量X的分布列如下表所示：,求:(1)常数a; (2)P(X1),P(-2X0), P(X2).,袋中有两只白球三只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布列为,例,Y的边缘分布列,X的边缘分布列,
4、所以X 和Y 的边缘分布列分别为,例,解,例设(X,Y )的联合分布律为,且X与Y 相互独立，试求 和 .,又由分布列的性质, 有,解,由X与Y 相互独立，知,解,例设(X,Y )的联合密度函数为,问 X与Y是否相互独立？,X, Y的边缘密度分别为,所以 X, Y 不相互独立.,设(X,Y )的联合密度函数为,问（1)试求常数c; (2)讨论 X与Y是否相互独立？,15,例,17,例:,对一圆片直径X进行测量，其值在5,6上服从均匀分布，求圆片面积Y的概率密度.,18,第三章 随机变量的数字特征,方差,几种常见分布的数学期望与方差,数学期望,1.方差的定义 2.方差的计算,1.离散型随机变量的
5、数学期望2.连续型随机变量的数学期望3.随机变量函数的数学期望 4.数学期望的性质,离散型：0-1分布、二项分布、泊松分布,协方差与相关系数,4.标准化随机变量,3.方差的性质,1.协方差概念及其性质,3.相关系数取值的解释及不相关与相互独立的关系,2.相关系数,连续型：均匀分布、指数分布、正态分布,例,解：,例,解,例 设随机变量 X 的概率分布如下：,设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y 表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：,例,解,问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。,均值相等, 据此不能判断优劣,再求方差.,均值相等, 据此不能判断优劣,再求方差.,由于D(
6、X) D(Y)，因此，机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定.,例,设(X,Y )的联合分布律为,例,解,先求出边缘分布，,例,试计算随机变量X与Y的相关系数.,第四章 大数定律与中心极限定理,大树定律,中心极限定理,切比雪夫不等式,1.切比雪夫大数定律,1.独立同分布中心极限定理,2.伯努利大数定律,2.二项分布中心极限定理,3.辛钦大数定律,30,例：一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两。求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率。,例：对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。,例: 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯概率都是0.6，而假定各盏灯开、关彼此独立，求夜晚同时开着的灯数在5800至6200之间的概率的近似值,解 表示同时开着的灯数，则,32,从而,
