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1、一、全概率公式,二、贝叶斯公式,三、伯努利概型,1.5 全概率公式与贝叶斯公式,1.样本空间的划分,一、全概率公式,2.全概率公式,全概率公式,图示,证明,化整为零各个击破,说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30%,二厂生产的占 50%,三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,称此为贝叶斯公
2、式.,二、贝叶斯公式,证明,例2 商店论箱出售玻璃杯(每箱20只)，其中每箱含0、1、2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解,解,例3,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.,例4,解,(1)由全概率公式得,(2)由贝叶斯公式得,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,小结,乘法公式,三、伯努利概型,定义 若大量重复试验满足以下两个特点:可能的结果为有限个，且在相同的条件下重复 进行；各次试验的结果相互独立则称这一系列试验为独立试验序列或独立试
3、验概型.,解,则A仅在前k次发生的概率为,由于n次试验中A发生k次的方式共有 种，,例5(人寿保险问题)在保险公司里有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人1年付120元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取20000元.问(不计利息)(1)保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于100000的概率是多少?,保险公司在1年的收入是2500120=300000元,解 设X表示这一年内的死亡人数,则,保险公司这一年里付出20000X元,于是,P公司亏本=P X 15=1-PX 15,P公司亏本,(2)获利不少于100000元,
4、即 300000-20000X 100000,即X 10,P获利不少于一万元=PX 10,当20000X 300000,即X 15人时公司亏本,例6 对某厂的产品进行质量检查，现从一批产品中重复抽样，共取200件样品，结果发现其中有4件废品，问我们能否相信此工厂出废品的概率不超过0.005？,解 假设此工厂出废品的概率为0.005，则200件 产品中出现4件废品的概率为,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可认为工厂的废品率不超过0.005的说法是不可信的.,例7 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假
5、设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,例1 设一仓库中有10 箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱,3箱,2 箱,三厂产品的废品率依次为 0.1,0.2,0.3 从这 10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率.,设 A 为事件“取得的产品
6、为正品”,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知,解,备份题,故,解,例2,由贝叶斯公式得所求概率为,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为 0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.,解,A,B,C 分别表示甲、乙、丙击中敌机,例3,D 表示敌机被击落,因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为,第一章 小结,本章有六个概念(随机试验、事件、概率、条件概率、独立性)，四个公式(加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)和三个概型(古典概型、几何概型、伯努利概型)组成.,问：考题为选择类试题，每题有四个选择，已知考生知道正确答案的概率为0.8，不知道正确答案的概率为0.2；不知道正确答案时而猜对的概率为0.25，则在他答对时，他确实知道正确答案的概率为()(A)56(B)1617(C)1518(D)0.8,
