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1、第七章 函数逼近,用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差,称为逼近的误差或余项。,如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题,函数逼近问题的一般提法：,对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。,最常用的度量标准：,(一) 一致逼近,以函数f (x)和p (x)的最大误差,作为度量误差 f (x) p (x) 的“大小”的标准
2、,在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近,对于任意给定的一个小正数 0，如果存在函数p (x)，使不等式,成立，则称该函数p (x)在区间a, b上一致逼近或均匀逼近于函数f (x)。,(二) 平方逼近：,采用,作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。,1 正交多项式,一、正交函数系的概念,考虑函数系,1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，connx，sinnx，,此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间- , 上的积分都等于0 ！,我们称这个函数中任何两个函数在- , 上是正交的，并且称这个函数系为一个正交函数系。,若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适
3、当的数，,使之成为：,那么这个函数系在- , 上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的(规范的),1权函数,定义7.1 设 (x)定义在有限或无限区间a, b上，,如果具有下列性质：,(1) (x) 0，对任意x a, b，,(2) 积分 存在，(n = 0, 1, 2, )，,(3) 对非负的连续函数g (x) 若,则在(a, b)上g (x) 0,称 (x)为a, b上的权函数,2内积,定义7.2 设f (x)，g (x) C a, b， (x)是a, b上的权函数，,则称,为 f (x) 与 g (x)在 a, b上以 (x)为权函数的内积。,内积的性质：,(1) (f, f )0，且 (
4、f, f )=0 f = 0；,(2) (f, g) = (g, f )；,(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)；,(4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。,3正交性,定义7.3 设 f (x)，g(x) C a, b 若,则称f (x)与g (x)在a, b上带权 (x)正交。,定义7.4 设在a, b上给定函数系，若满足条件,则称函数系k (x)是a, b上带权 (x)的正交函数系，,若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x)为权的在a, b上的正交多项式系。并称pn(x)是a, b上带权 (x)的n次正交多项式。,特
5、别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。,二、常用的正交多项式,1切比雪夫()多项式,定义7.5 称多项式,为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。,切比雪夫多项式的性质：,(1) 正交性：,由 Tn (x)所组成的序列 Tn (x)是在区间-1, 1上带权,的正交多项式序列。且,(2) 递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：,(3) 奇偶性：,切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。,(4) Tn (x)在区间-1, 1上有n 个不同的零点,(5) Tn (x) 在-1, 1上有n + 1个不同的极值点,使Tn (x)轮流取得最大值 1 和
6、最小值 -1。,(6) 切比雪夫多项式的极值性质,Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, )。,定理7.1 在-1x 1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn (x)中,与零的偏差最小，且其偏差为,即，对于任何 ， 有,2勒让德(Legendre)多项式,定义7.6 多项式,称为n次勒让德多项式。,勒让德多项式的性质：,(1) 正交性,勒让德多项式序列pn(x)是在-1, 1上带权 (x) = 1的正交多项式序列。,(2) 递推关系,相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：,(3) 奇偶性：,当n为偶数时，pn (x)为偶函数；,当n为奇数时，pn (x)为奇函数。,
7、(4) pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全部在区间-1, 1内部。,3其它常用的正交多项式,(1) 第二类切比雪夫多项式,定义7.7 称,为第二类切比雪夫多项式。, un(x)是在区间-1, 1上带权函数,的正交多项式序列。, 相邻的三项具有递推关系式：,(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式,定义7.8 称多项式,为拉盖尔多项式。, Ln(x)是在区间0, +上带权 (x) = e-x 的正交多项式序列。, 相邻的三项具有递推关系式：,(3) 埃尔米特(Hermite)多项式,定义7.9 称多项式,为埃尔米特多项式。,的正交多项式序列。, Hn(x)是在区间(-, +)上带权函数
8、, 相邻的三项具有递推关系式：,2 最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,定义7.10 设函数f (x)是区间a, b上的连续函数，对于 任意给定的 0，如果存在多项式p (x)，使不等式,成立，则称多项式p (x)在区间a, b上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x)。,维尔斯特拉斯定理,若f (x)是区间a, b上的连续函数，则对于任意 0， 总存在多项式p (x)，使对一切a x b有,3 最佳平方逼近,1函数系的线性关系,定义7.11若函数 ，在区间a, b上连续， 如果关系式 当且仅当 时才成立，则称 函数在a, b上是线性无关的，否则称线性相关。,设 是a, b上线性无关的连续函数
9、a0, a1, , an 是任意实数，则,并称 是生成集合的一个基底。,的全体是Ca, b的一个子集，记为,定理7.3 连续函数在a, b上线性无关的充分必要条件是它们 的克莱姆(Gram)行列式Gn 0，其中,2广义多项式,设函数系 ，线性无关，,则其有限项的线性组合,称为广义多项式。,二、函数的最佳平方逼近,定义7.12 对于给定的函数 ，若n次多项式,满足关系式,则称S*(x)为f (x)在区间a, b上的n次最佳平方逼近多项式。,定义 7.13 对于给定的函数,如果存在,使,则称S*(x)为f (x)在区间a, b上的最佳平方逼近函数。,求最佳平方逼近函数 的问题可归结为求它的系数 使多元函数,取得极小值。,I (a0, a1, ，an)是关于a0, a1, ，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，,(k = 0, 1, 2, , n),得方程组,最小二乘！,如采用函数内积记号,方程组可以简写为,写成矩阵形式为,法方程组 ！,由于0, 1, , n线性无关，故Gn 0，于是上述方程组存在唯一解 。,从而肯定了函数f (x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是,三 利用正交多项式进行最小二乘拟合,将 选为带权 的正交多项式系,
