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1、, 概率论与数理统计,大 学 数 学（四）,第17讲 区间估计,脚本编写：肖庆丰,教案制作：肖庆丰,第七章 参数估计,理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握 样本均值、样本方差及样本矩的计算。 了解卡方分布、t分布和F分布的定义及性质，了解分布 分位数的概念并会查表计算。 了解正态总体的某些常用统计量的分布。 理解点估计的概念。 掌握矩估计法和极大似然估计法。 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。 理解区间估计的概念。 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。 了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。,第七章 参数估计,第四节 区间估计,一、区间估计的方法与步骤二、正
2、态总体均值的区间估计三、正态总体方差的区间估计四、两个正态总体均值差的区间估计五、两个正态总体方差比的区间估计,对一个未知量, 人们在测量或计算时, 常不以得到近似值为满足, 还需估计误差, 即要求知道近似值的精确程度(亦即所求真值所在的范围). 类似地, 对于未知参数q, 除了求出它的点估计 外, 还希望估计出一个范围, 并希望知道这个范围包含参数q真值的可信程度. 这样的范围通常以区间的形式给出, 同时还给出此区间包含参数q真值的可信程度. 这种形式的估计称为区间估计.,一、区间估计的方法与步骤,置信区间 设总体X的分布函数F(x;q)含有一个未知参数q, q(Q是q的可能取值范围), 对
3、于给定值a(0a1), 若由样本X1,X2,.,Xn确定的两个统计量q = q(X1,X2,.,Xn)和q =q(X1,X2,.,Xn)(q q), 对于任意q 满足 Pq(X1,X2,.,Xn) q q(X1,X2,.,Xn)1-a (1) 则称随机区间(q ,q)是q的置信水平为1-a的置信区间, q 和q分别称为置信水平为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上限.,当X是连续型随机变量时, 对于给定的a, 总是按要求P(q q q)=1-a求出置信区间, 而当X是离散型随机变量时, 对于给定的a, 常常找不到区间(q ,q)使得P(q q q)恰为1-a. 此时去找区间(q ,q)使得P
4、(q q q)至少为1-a, 且尽可能地接近1-a.,(1)式的含义为:若反复抽样多次(各次得到的样本的容量相等, 都是n), 每个样本值确定一个区间(q ,q), 每个这样的区间要么包含q的真值, 要么不包含q的真值, 按大数定律, 包含q真值的约占100(1-a)%, 不包含q真值的约占100a%, 例如, 若a=0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000个区间中不包含q真值的约仅为10个.,例 设总体XN(m,s2), s2为已知, m为未知, 设X1,X2,.,Xn是来自X的样本, 求m的置信水平为1-a的置信区间.解,按标准正态分布的上a分位点的定义, 有,这样就得到了m的一
5、个置信水平为1-a的置信区间,常写成,如果取a=0.05, 即1-a=0.95, 又若s=1, n=16, 查表得za/2=z0.025=1.96. 于是得到一个置信水平为0.95的置信区间,再者, 若由一个观察值算得样本均值的观察值x =5.20, 则得到一个区间(5.200.49), 即 (4.71, 5.69),最后得到的区间(4.71,5.69)已经不是随机区间了, 但我们仍称它为置信水平为0.95的置信区间. 其含义是: 若反复抽样多次, 每个样本值(n=16)按(4.7)式确定一个区间, 按上面的解释, 在这么多的区间中, 包含m的约占95%, 不包含m的约仅占5%. 现在抽样得到
6、区间(4.71,5.69), 则该区间属于那些包含m的区间的可信程度为95%, 或该区间包含m这一陈述的可信度为95%.,然而, 置信水平为1-a的置信区间并不是惟一的. 以上例来说, 若给定a=0.05, 则又有,也是置信水平为0.95的置信区间.,而比较两个置信区间,易知, 象N(0,1)分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况, 当n固定时, 以形如(5)那样的区间其长度为最短. 我们自然选用它.通过上例, 可看到求未知参数q的置信区间的具体做法如下(1)寻求一个样本X1,X2,.,Xn的函数:W=W(X1,X2,.,Xn;q),它包含待估的参数q, 而不含其它未知参数, 并且W的分布
7、已知且不依赖于任何未知参数(当然不依赖于待估参数q);,(2) 对于给定的置信水平1-a, 定出两个常数a,b, 使PaW(X1,X2,.,Xn;q)b)1-a;(3) 若能从aW(X1,X2,.,Xn;q)b得到等价的不等式q q q, 其中q=q(X1,X2,.,Xn), q =q(X1,X2,.,Xn)都是统计量, 那么(q,q)就是q的一个置信水平为1-a的置信区间.函数W(X1,X2,.,Xn;q)的构造, 通常可以从q的点估计着手考虑. 常用的正态总体参数的置信区间可以用上述步骤推得.,二、正态总体均值的区间估计,设已给定置信水平为1-a, 并设X1,X2,.,Xn为总体N(m,s
8、2)的样本. X, S2分别是样本均值和样本方差.1,均值m的置信区间(a) s2为已知, 此时由例1采用(2)的函数, 已得到m的置信水平1-a为的置信区间为,(b) s2为未知, 由第六章定理三, 知,右边的分布t(n-1)不依赖于任何未知参数, 可得,0,a/2,a/2,-ta/2(n-1),ta/2(n-1),于是得m的一个置信水平为1-a的置信区间,例1 从一大批糖果中随机取16袋, 称得重量(克)为:506,508,499,503,504,510,497,512,514, 505,493,496,506,502,509,496 设袋装糖果重量近似服从正态分布, 求总体均值m的置信水
9、平为0.95的置信区间.解 1-a=0.95, a/2=0.025, n-1=15, t0.025(15)=2.1315, 算得x=503.75, s=6.2022. 由(4)式算得置信区间为,即 (500.4, 507.1).,2, 方差s2的置信区间(m未知) s2的无偏估计为S2, 由第六章2定理二知,上式右端分布不依赖任何参数, 故有,a/2,a/2,得到方差s2的一个置信水平为a的置信区间,由(6)式还可得到标准差s的1-a置信区间为,在密度函数不对称时, 如c2分布和F分布, 习惯上仍是取对称的分位点来确定置信区间的.,例2 求例1中总体标准差s的置信水平为0.95的置信区间.解
10、现在a/2=0.025, 1-a/2=0.975, n-1=15, 查表得,又s=6.2022, 由(5.8)式得所求的标准差s的一个置信水平为0.95的置信区间为(4.58, 9.60),三、单侧置信区间,在上述讨论中, 对于未知参数q, 我们给出两个统计量q,q, 得到q的双侧置信区间(q,q). 但在一些实际问题中, 例如, 对于设备, 元件的寿命来说, 平均寿命长是我们所希望的, 我们关心的是平均寿命q的下限, 与此相反, 在考虑化学药品中杂质含量的均值m时, 我们常关心参数m的上限. 这就引出了单侧置信区间的概念.,对于给定值a(0q 1-a,(1)称随机区间(q, )是q的置信水平
11、为1-a的单侧置信区间, q 称为q的置信水平为1-a的单侧置信下限.,又若统计量q =q(X1,X2,.,Xn), 对于任意q满足Pq q 1-a,(2)称随机区间(-,q )是q 的置信水平为1-a的单侧置信区间, q 称为q 的置信水平为1-a的单侧置信上限.,例如对于正态总体X, 若均值m, 方差s2均为未知, 设X1,X2,.,Xn是一个样本, 由,有,即,于是得到m的一个置信水平为1-a的单侧置信区间,m的置信水平为1-a的单侧置信下限为,又由,有,即,于是得s2的一个置信水平为1-a的单侧置信区间,s2的置信水平为1-a的单侧置信上限为,例 从一批灯泡中随机地取5只做寿命试验,
12、测得寿命(以小时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的置信下限.解 1-a=0.95, n=5, ta(n-1)=t0.05(4)=2.1318,x=1160, s2=9950. 由(7.4)式得所求单侧置信下限为,(二)两个总体N(m1,s12), N(m2,s22)的情况,1,两个总体均值差m1-m2的置信区间,或,即得m1-m2的一个置信度为1-a的置信区间,(b) s12=s22=s2, 但s2为未知. 此时,从而可得m1-m2的一个置信水平为1-a的置信区间为,(5.13),例3 为比较I,II两
13、种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取I型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为x1=500(m/s), 标准差s1=1.10(m/s), 随机地取II型子弹20发, 得到枪口速度的平均值为x2=496(m/s), 标准差s2=1.20(m/s). 假设两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生产过程可以认为方差相等. 求两总体均值差m1-m2的一个置信水平为0.95的置信区间.,解 用(5.12)式求均值差的置信区间. 1-a=0.95, a/2=0.025, n1=10, n2=20, n1+n2-2=28, t0.025(28)=2.0484. sw2=(91.102+191.202)/28
14、, sw=1.1688, 故所求均值差m1-m2的一个置信水平为0.95的置信区间是,即 (3.07, 4.93).本题中得到的置信区间的下限大于零, 我们就认为m1比m2大.,例4 为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用一种新的催化剂, 为慎重起见, 在实验工厂先进行试验. 设采用原来的催化剂进行了n1=8次试验, 得到得率的平均值x1=91.73. 样本方差s12=3.89; 又采用新的催化剂进行了n2=8次试验, 得到的得率的均值x2=93.75, 样本方差s22=4.02. 假设两总体都可认为服从正态分布, 且方差相等, 两样本独立. 试求两总体均值差m1-m2的置信水平为0.95的
15、置信区间.,解 现在,由(5.12)式得所求的置信区间为,即 (-4.15, 0.11).由于所得置信区间包含零, 认为两种均值没有显著差别.,2, 两个总体方差比s12/s22的置信区间仅讨论总体均值m1,m2为未知的情况, 由第六章2定理四,并且分布F(n1-1,n2-1)不依赖任何未知参数, 由此得,即,于是得s12/s22的一个置信水平为1-a的置信区间为,(5.16),例5 研究由机器A和机器B生产的钢管的内径, 随机抽取机器A生产的管子18只, 测得样本方差s12=0.34(mm2); 抽取机器B生产的管子13只, 测得样本方差s22=0.29(mm2). 设两样本相互独立, 且设
16、由机器A, 机器B生产的管子内径分别服从正态分布N(m1,s12), N(m2,s22), 这里mi, si2(i=1,2)均未知. 试求方差比s12/s22的置信水平为0.90的置信区间.,解 现在n1=18, s12=0.34, n2=13, s22=0.29, a=0.1, Fa/2(n1-1,n2-1)=F0.05(17,12)=2.59, F1-a/2(17,12)=F0.95(17,12)=1/2.38, 于是由(5.16)式得s12/s22的一个置信水平为0.90的置信区间为,即(0.45, 2.79)由于s12/s22的置信区间包含1, 在实际中我们就认为s12, s22两者没有显著差别.,
