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1、,第一章 有限元基本理论,平衡方程,几何方程,物理方程,边界条件,物理系统,有限元离散,单元的位移场,(假定单元内位移函数),单元节点关系,求解区域的位移场、应力场,简单化,1.1 有限元分析 (FEA),有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。,定义,1.2 有限单元法的基本思想,将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单元的集合体。选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数，以表示单元中场函数的分
2、布规律。利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为离散域中有限自由度问题。,1.3 物理系统举例,几何体 载荷 物理系统,1.3.1 平衡方程,1.3.2 几何方程,1.3.3 物理方程(本构方程),拉梅系数,体积应变,剪切模量,1.3.4 边界条件,应力边界条件,位移边界条件,1.4 有限元模型,真实系统,有限元模型,有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。,定义,1.5 自由度(DOFs),自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。,结构 DOFs,ROTZ,UY,ROTY,UX,ROTX,UZ,定义,1.6 节点和单元,节点:
3、空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。,单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。,有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。,载荷,定义,1.6 节点和单元 (续),信息是通过单元之间的公共节点传递的。,.,.,.,A,B,.,.,.,.,.,.,.,.,A,B,.,.,.,2 nodes,1.6 节点和单元 (续),节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。,J,I,I,J,J,K,L,I,L,K,I,P,O,M,N,K,J,I,L,三维杆单元 (铰接) UX, UY
4、, UZ,三维梁单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ,二维或轴对称实体单元UX, UY,三维四边形壳单元UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ,三维实体热单元TEMP,J,P,O,M,N,K,J,I,L,三维实体结构单元UX, UY, UZ,1.7 单元形函数,FEA仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。,1.7 单元形函数(续),1
5、.7 单元形函数(续),DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如：结构应力、热梯度）。,1.7 单元形函数(续),如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。,1.8 直杆受自重作用的拉伸问题,1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续),就整个直杆
6、来说，位移函数U(x)是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。此处，假设单元中的位移按线性分布 ，即：,1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续),有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点位移表示的公式：,1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续),外载荷与结点的平衡方程,为第i个结点上承受的外载荷,1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续),假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3，则对结点2，3，4列出的平衡方程为：,1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续),1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续),联立求解线性代数方程组得：,1.9 有限单元法解
7、题的一般步骤,结构的离散化选择位移模式建立平衡方程求解节点位移计算单元中的应力和应变,1.9.1 结构的离散化,将分析的结构物分割成有限个单元体，使相邻的单元体仅在节点处相连接，而以如此单元的结合体去代替原来的结构。,1.9.2 选择位移模式(形函数),首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一的关系式有了位移模式，就可利用几何关系和应力-应变关系表出用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式,1.9.3 三角形单元的形函数,基本假定：假定单元内的位移可以用一个比较简单的函数来表示，如线性插值函数。这在单元划分比较密的情况下是合理可行的。,1.9.3 三角形单元的形函数(续),将三角形单元的3个顶点的2个方向位移代入位移函数可求出6个待定系数。即可用节点的位移表示内部任意一点的位移：,1.9.4 建立平衡方程,可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系式，即结构的平衡方程,1.9.5 求解结点位移,将边界条件代入线性代数方程组 后，经解算可求得所有未知的结点位移。,1.9.6 计算单元中的应变和应力,依据求得的结点位移，由可求得单元中任一点的应变和应力。,
