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1、,7-2 一阶电路的零输入响应,7-3 一阶电路的零状态响应,7-4 一阶电路的全响应,7-6 二阶电路的零状态响应和全响应,7-5 二阶电路的零输入响应,7-1 动态电路的方程及其初始条件,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,教学内容,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,*7-9 卷积积分,*7-10 状态方程,*7-11 动态电路时域分析中的几个问题,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,教学内容,理解动态电路的概念；熟练掌握求解一阶电路的零输入、零状态和全响应的方法；掌握求解一阶电路阶跃响应、冲激响应的方法；了解求解二阶电路的各种响应的经典法；了解二阶电路的过渡过程的性质和物理意义。
2、,教学要求,重点,应用三要素法分析一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应；求解一阶电路的阶跃响应、冲激响应。,针对一阶或高阶电路，如何写出相应的微分方程；冲激响应的求解。,难点,学时数,讲课7学时，习题1学时。,一、动态电路的有关概念, 一阶(动态)电路,仅含一个动态元件，且无源元件都是线性和时不变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。,7-1 动态电路的方程及其初始条件, 二阶或 n 阶(动态)电路,含两个或 n 个动态元件的电路，其电路方程是二阶或 n 阶微分方程。,7-1 动态电路的方程及其初始条件, 过渡过程,当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路从一种工作状态(稳定状态)
3、转变到另一种工作状态(稳定状态)，期间所经历的过程称为过渡过程。, 换路,电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路，换路是瞬间完成的。,设 t = 0 时刻换路，则,t = 0- 表示换路前的终了瞬间,t = 0+表示换路后的初始瞬间(初始值),7-1 动态电路的方程及其初始条件,二、分析动态电路的方法, 经典法, 三要素法,该方法仅适用于一阶动态电路。,建立以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量(电压或电流)，该方法是在时域中进行。,三、动态电路的初始条件,电路中所求变量(电压或电流)及其1阶至(n-1)阶导数在 t = 0+ 时的值。, 初始条件(初始值)
4、,7-1 动态电路的方程及其初始条件, 独立初始条件,电容电压的初始值uC(0+)。,令 t0 = 0- ，t = 0+ ，则,若换路前后，iC 为有限值，则,换路瞬间，电容电压不能突变。,7-1 动态电路的方程及其初始条件,电感电流的初始值iL(0+)。,令 t0 = 0- ，t = 0+ ，则,若换路前后，uL 为有限值，则,换路瞬间，电感电流不能突变。,7-1 动态电路的方程及其初始条件,换路定则,换路瞬间，电容电压不能突变，电感电流不能突变。,画出t = 0-等效电路，,根据换路定则：,独立初始条件的求法,电容元件视作开路，其电压值为uC(0-)；,电感元件视作短路，其电流值为iL(0
5、-)；,稳定状态下：,由t = 0+等效电路求非独立初始值。,在t = 0+等效电路中,若 ，则电容元件用理想电压源代替，其值为 ；,若 ，则电感元件用理想电流源代替，其值为 ；,7-1 动态电路的方程及其初始条件, 非独立初始条件,若 ，则电容元件视作短路。,若 ，则电感元件视作开路。,例7-1：换路前电路处于稳态，试求图示电路中元件电压和电流的初始值。,解：,由t = 0-等效电路求 uC(0)、iL (0),7-2 一阶电路的零输入响应,由t = 0+等效电路求非独立初始值,7-2 一阶电路的零输入响应,7-2 一阶电路的零输入响应,一、RC电路的零输入响应,零输入响应：换路后，动态电路
6、中无外施激励电源，仅由动态元件初始储能所产生的响应。,一阶齐次微分方程, 电容电压 uC 的变化规律(t 0),7-2 一阶电路的零输入响应,令方程通解为：,特征方程：,将其带入方程得,由初始值确定积分常数A,方程通解为：,根据换路定则：,t = 0+时，则 A = U0,电容电压 uC 的变化规律（t 0）为,7-2 一阶电路的零输入响应,电容电压uC按指数规律从初始值U0衰减而趋于零，衰减的快慢由电路的时间常数决定。, i、uR的变化规律, uC、i、uR的变化曲线,U0,-U0,7-2 一阶电路的零输入响应,物理意义,令,单位： 秒（S）,时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢。,当 时，
7、,时间常数等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。, 时间常数,R为换路后的电路除源（即将理想电压源短接、理想电流源开路）后，从储能元件两端（不含储能元件）看进去的无源二端网络间的等效电阻。,7-2 一阶电路的零输入响应,经过 t =5 的时间，就足可认为电路达到稳态。,理论上 t 电路才能达到稳态。,工程上认为 电路就可认为达到稳态。,几何意义：指数曲线上任意点的次切距的长度都等于 。,暂态时间,例7-2 图示电路，开关S原在位置1已久，t =0时合向位置2，试求i(t)和uC(t) 。,解：,7-2 一阶电路的零输入响应,7-2 一阶电路的零输入响应,例7-3 图示电路，开关S
8、合在位置1时电路已达稳态，t =0时开关由位置1合向位置2，试求t0时的电流i(t)。,解：,用加压求流法求等效电阻 R,二、RL电路的零输入响应, 电感电流 iL 的变化规律,t = 0时开关S由1合到2,一阶线性齐次微分方程,令方程通解为：,由特征方程：,7-2 一阶电路的零输入响应,7-2 一阶电路的零输入响应,由初始值确定积分常数 A,方程通解为：,电感电流 iL 按指数规律从初始值衰减至零，衰减的快慢由决定。,根据换路定则：,t = 0+时，则,7-2 一阶电路的零输入响应, uL、uR的变化规律, iL、uL、uR的变化曲线,7-2 一阶电路的零输入响应,eL可能使开关两触点之间的
9、空气击穿而造成电弧以延缓电流的中断，开关触点因而被烧坏。, 用开关S将线圈从电源断开而未加以短路,解决方法：与线圈串接低值泄放电阻R1 。,因为电流变化率 很大,所以 很大,7-2 一阶电路的零输入响应,例7-4 图示是一台300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻R = 0.189，电感L= 0.398H，直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV = 5k。开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在 t = 0 时断开开关。求：电阻、电感回路的时间常数；电流 i 的初始值；电流 i和电压表处的电压uV；开关刚断开时，电压表处的电压。,解：,7-2 一阶电路的零输入响应,7-
10、3 一阶电路的零状态响应,一、RC电路的零状态响应,零状态响应：换路后，动态电路中动态元件初始储能为零，由外施激励引起的响应。,一阶线性非齐次微分方程, 电容电压uC的变化规律,方程的解 = 特解 + 通解,特解：,通解：,即：,7-3 一阶电路的零状态响应,根据初始值确定积分常数 A,根据换路定则：,t = 0+时，则 A=U, i、uR的变化规律,7-3 一阶电路的零状态响应,稳态分量(强制分量)：电路到达稳定状态时的电压，其变化规律和大小都与电源电压U有关。,瞬态分量(自由分量)：仅存在于暂态过程中，其变化规律与电源电压U无关，但其大小与U有关。, uC、i、uR的变化曲线, 表示电容电
11、压 uC 从初始值上升到稳态值的63.2%时所需的时间。,7-3 一阶电路的零状态响应,7-3 一阶电路的零状态响应,例7-5 图示电路，开关S闭合前电容电压为零。在t =0时S闭合，求t0时的uC(t)和iC(t)。,解：,7-3 一阶电路的零状态响应, 电感电流iL的变化规律,特解,通解,RL电路与恒定电压接通,令解,令,二、RL电路的零状态响应,7-3 一阶电路的零状态响应,根据初始值确定积分常数 A,微分方程的解为：,根据换路定则：,t = 0+时，则,7-3 一阶电路的零状态响应, uL、uR的变化规律, iL、uL、uR的变化曲线,7-3 一阶电路的零状态响应,例7-6 图示电路中
12、开关S打开前已处稳定状态。t = 0开关S打开，求t0时的uL(t)和电压源发出的功率。,解：,电压源发出的功率为,7-4 一阶电路的全响应,全响应：换路后，外施激励及储能元件的初始状态均不为零时电路的响应。,RC电路的全响应,t = 0 时开关S由1切换到2,微分方程的解为：,零输入响应,这是叠加定理在电路暂态分析中的体现。,根据初始值确定积分常数A,根据换路定则：,t = 0+ 时，则 A = U0U,全响应 = +,零状态响应,稳态分量,瞬态分量,全响应 = 稳态分量 +瞬态分量,（三要素）,在直流电源激励下，分析一阶电路的全响应的一般公式为,一阶线性电路均可应用三要素法求解，即只要求得
13、 、 和 这三个要素的基础上，就能直接写出电路的响应（电压或电流）。,7-4 一阶电路的全响应,初始值 的求法,如何求三要素,7-4 一阶电路的全响应,画出t = 0-等效电路，,根据换路定则：,电容元件视作开路，其电压值为uC(0-)；,电感元件视作短路，其电流值为iL(0-)；,稳定状态下：,独立初始条件,7-4 一阶电路的全响应,非独立初始条件,由t = 0+等效电路求非独立初始值。,在t = 0+等效电路中,若 ，则电容元件用理想电压源代替，其值为 ；,若 ，则电感元件用理想电流源代替，其值为 ；,若 ，则电容元件视作短路。,若 ，则电感元件视作开路。,例：确定图示电路中各电流和电压的
14、初始值，设开关S闭合前电感元件和电容元件均未储能。,解：,7-4 一阶电路的全响应,换路后，当 t 时的等效电路中，电容视作开路，电感视作短路。,稳态值 的求法,例：求开关S闭合后i1、i2、iC和uC的稳态值。,解：,7-4 一阶电路的全响应,R0为换路后的电路除源（即将理想电压源短接、理想电流源开路）后，从储能元件两端（不含储能元件）看进去的无源二端网络间的等效电阻。,时间常数 的求法,一阶RC电路：,一阶RL电路：,例：,7-4 一阶电路的全响应,例7-7 图示电路中US=10V，IS=2A，R=2，L=4H。试求 S 闭合后电路中的电流 iL 和 i 。,7-4 一阶电路的全响应,解：
15、,7-4 一阶电路的全响应,例7-8 图示电路，开关 S 闭合前电路已达稳定状态，求 t = 0 时电容电压 uC 的零状态响应、零输入响应和全响应。,解：,用加压求流法求等效电阻 R,7-4 一阶电路的全响应,全响应,零输入响应,零状态响应,7-5 二阶电路的零输入响应,略,7-6 二阶电路的零状态响应和全响应,略,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,一、阶跃函数, 单位阶跃函数,定义任一时刻t0起始的阶跃函数, 延迟的单位阶跃函数,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应, 一般阶跃函数,二、阶跃函数的作用, 阶跃函数又称开关函数，可作为电路中开关的数学模型。, 用阶跃函数构成闸门函数截取一
16、个函数的某段波形。,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,例：, 阶跃函数可起始任意一个f(t)。,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,三、阶跃响应,初始状态为零的电路在阶跃电源作用下的响应。,因此单位阶跃响应与直流激励响应相同，常用s(t)表示单位阶跃响应。,若电路的激励为 ，则电路的零状态响应为 。,当电路的激励为单位阶跃 或 时，相当于将电路在 t = 0时接通电压值为1V的直流电压源或电流值为1A的直流电流源。,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,例7-9 图示电路，开关S和在位置1时电路已达稳定状态。t = 0时，开关由位置1合向位置2，在 t = RC 时又由位置2合向位置1，
17、求 t 0 时的电容电压uC(t)。,解：,方法一,在 区间为RC电路的零状态响应,在 区间为RC电路的零输入响应。,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,方法二,RC电路的单位阶跃响应为：,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,一、冲激函数, 单位冲激函数, 一般冲激函数,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,冲激函数的幅度趋于无穷大，但强度为有限值，它是用强度表征的。,画冲激函数的波形时，在表示波形的箭头旁标注其强度。,注意,二、冲激函数的两个性质, 冲激函数与阶跃函数的关系, “筛分”性质,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,冲激函数能把一个函数在某一时刻的值“筛”出来。,三、电路的冲
18、激响应,零状态电路在单位冲激电源作用下的响应称为单位冲激响应，常用h(t)表示。,四、求冲激响应的方法, 根据阶跃响应求冲激响应,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应, 将冲激响应转化为零输入响应求解,当把一个单位冲激电流 A加到初始电压为零且C = 1F 的电容上，则,当把一个单位冲激电压 V加到初始电流为零且L = 1H 的电感上，则,这相当于冲激电流瞬时把电荷转移到电容上，使电容电压从零跃变到1V。,单位冲激电压瞬时在电感内建立了1A的电流，即电感电流从零值跃变到1A。,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,关键求冲激函数作用下的uC(0+)或 iL(0+)。,当单位冲激函数作用于零状态
19、的一阶 RC 或 RL 电路，在 0- 0+ 区间内它使电容电压或电感电流发生跃变，即 t0+时，uC(0+)或 iL(0+)不为零，但此时冲激函数为零，因此电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。,例：求图示电路的零状态响应 uC 。,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,由于uC不可能是冲激函数,因此,t0+时，冲激电流源相当于开路,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,例：求图示电路的零状态响应 iL 。,由于iL不可能是冲激函数,因此,t0+时，冲激电压源相当于短路,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,例7-10 图示电路， ， 试求电路的冲激响应 iC ，i1和uC 。,解：,由于uC不可能是冲激函数，因此,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,另一方法：作出0+时的等效电路，等效电路中电容视作短路，电感视作开路，求得电容中的冲激电流或电感中的冲激电压后，再根据电容或电感各自的伏安关系求得电路的初始状态uC(0+)或iL(0+)。,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,例7-11 求图示电路的冲激响应iL和uL。,解：,7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应,例7-12 求图示电路的冲激响应uC 。,解：,用加压求流法求R0,7-9 卷积积分,略,7-10 状态方程,略,*7-11 动态电路时域分析中的几个问题,略,第七章作业,
