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1、第一章 航天器运动,主讲教师：杏建军2022年11月23日,授课内容,绪论二体相对运动方程二体相对运动方程的求解,1.1 课程的主要研究内容,主要研究内容：人造物体（航天器）在空间（距离地面100 km以上）自然力和人为控制力作用下运动的一门学科。,课程名称：航天器动力学基础与应用,主要包括天体引力和大气阻力,航天器的运动：包括质心运动和姿态运动，相应的课程为航天器质心动力学和航天器姿态动力学。,航天器质心运动和姿态运动是解耦的，因此可以分开研究和控制。为什么？,1.1 课程的主要研究内容,课程主要研究内容：1、航天器运动数学建模（物理规律的研究）2、数学模型的求解（微分方程的求解）3、数学模
2、型解算条件的提供（微分方程解算条件的提供）4、航天器运动规律的应用（具体的工程实践）,物理规律的研究：牛顿定理和万有引力定理非线性微分方程的求解：数学模型解算条件的提供：初始轨道的测量和最优控制航天器运动规律的应用：各种航天任务的轨道设计,1.2 课程的作用,航天器质心运动规律的研究是一切航天任务的开始的基础,任何航天任务的设计都要满足其基本的运动规律（例如：在万有引力作用下，航天器作圆锥曲线运动）,讨论问题：有没有可能设计任意飞行的航天器？,1.2 课程的作用,航天器相对运动实例,1.2 课程的作用,对于人造地球卫星来说，航天器轨道高度是任务设计的关键参数。,为什么？,轨道高度决定了：发射成
3、本效载荷规模。如雷达、光学相机、通信卫星发射机对地球的覆盖范围。对热点地区的覆盖特性决定了一些有特殊用途的轨道,1.2 课程的作用,对于深空探测器，航天器轨道设计决定了整个任务过程,卡西尼号是17国参与的土星探测任务，历时过6年8个月、32亿千米。,卡西尼号的诡异飞行轨迹,为什么这样设计？直接飞行只需12.5亿千米,行星助力飞行，节省燃料。如果直接飞往土星，需要70吨推进剂，卡西尼号总重6.4吨,1.2 课程的作用,亚星三号卫星 亚星三号是美国休斯公司为香港亚洲卫星公司制作的通信卫星，于1997年12月由质子火箭发射进入地球静止轨道，但由于火箭故障，进入了轨道倾角为51的无用轨道，发射失败，香
4、港卫星公司向保险公司索赔2亿美金。,一个航天史上的故事由此开始,1.3 学科发展史,从严格意义上来说，航天器动力学开始于上世纪50年代前苏联发射第一颗人造地球卫星，但它的起源非常久远。,古典天文学中国是世界上天文学起步最早，发展最快的国家之一。早在尧舜时代就设置了天文官。古希腊也是古典天文学什么发达的国家，取得了辉煌的成就，并对欧洲各国的文化影响很大。主要成果包括：确定地球的形状和大小；日月的远近和大小；日心说等。,1.3 学科发展史,古典天文学的社会需求,制定历法的需要，知道农业生产。如我们常说的24节气预测天灾人祸，旦夕祸福。（在古代，占星术和天文学是没有明显的区别的）,古典天文学研究方法
5、,没有理论指导，没有先进的观测手段,兴趣，长期不懈的观测，积极思考,1.3 学科发展史,天体力学：应用力学规律研究天体的运动和形状,天体力学以数学为主要研究手段（微积分），以牛顿万有引力定律为基础。,天体力学的发展奠基期（从古典天文学到十九世纪后期），标志性成果：开普勒提出三大定理；牛顿创立微积分，发现万有引力定理；欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯创立分析力学，建立了天体力学的力学基础，提出了摄动理论的分析方法；海王星的发现（理论的实际应用）。,1.3 学科发展史,天体力学的发展发展期（从十九世纪后期到二十世纪50年代）。研究对象新增加了太阳系的小天体。研究方法新增了定性方法和数值方法，定性
6、方法由庞加莱和李雅普洛夫创建，数值方法最早追溯到高斯（最小二乘定轨）。新时期（二十世纪50年代以后，航天器动力学出现）。研究对象新增了人造物体，物体运动的预报精度与观测精度大大提高，相应的摄动分析方法、定性方法和数值方法也有了相应的发展。,1.3 学科发展史,航天器动力学二十世纪50年代以后，随着人造天体的发射，航天器动力学出现。与天体力学相比，研究对象发生了变化（人造物体）。与自然天体相比，人造物体的受力物体增加了人为控制力，运动形式更为复杂；物体的预报精度与观测精度大大提高。研究的基本方法没有变化：以微积分为数学基础，以摄动分析方法、定性分析方法和数值方法为手段。,1.4 教程和参考书,1
7、、航天器轨道动力学，赵钧编著，哈工大出版社，20112、航天器轨道动力学与控制，杨嘉摨主编，宇航出版社，1995（注：国内航天器领域经典专著）3、Fundamentals of Astrodynamics and Applications(Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：国外经典教材）4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：MIT教材）,1.5 考核方式和成绩评定,授课内
8、容,绪论二体相对运动方程二体相对运动方程的求解,牛顿第二定理：Force = Mass Acceleration,2.1 万有引力定律和牛顿第二定律,万有引力定理：任意两个质点有通过连线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。,2.2 二体系统线动量守恒定理,+,内力不改变系统的质心,2.3 二体相对运动方程,-,2.3 二体相对运动方程,另一种推导思路,质点m1与质点m2所受的相互引力大小相等，方向相反,2.4 讨论1：m1相对系统质心的相对运动方程,推导质点m1相对系统质心的相对运动方程,质点m2相对m1的相对运动方程,1.4 讨论问题2,如果在地球附
9、近发射一颗人造地球卫星，其相对地心的相对运动方程是什么？,如果向月球发射一个月球探测器，其相对地月质心的相对运动方程是什么？,如果向月球发射一个月球探测器，其相对地球质心的相对运动方程是什么？,2.5 二体相对运动方程的标量表示,矢量形式的非线性微分方程,为了在实际中应用，需要转换为标量形式,直角坐标的基矢量不随时间变化,2.6 讨论3： 二体相对运动方程的极坐标形式,极坐标的基矢量是随时间变化,2.7 课后作业,通过复习或者自学理论力学中拉格朗日方程的有关内容，应用拉格朗日方程推导讨论问题1、3。下节课随机抽点学生上台上述，并请所有学生提交推导过程作业。,作业关键点：拉格朗日函数 = 系统动
10、能-系统的势能；拉格朗日方程；广义坐标。,阅读：An introduction to the mathematics and methods of astrodynamicsp97-p99；p110。,授课内容,绪论二体相对运动方程二体相对运动方程的求解,3.1 近似方法,非线性微分方程,微分方程解决的基本方法：解析法和数值法,解析法：求出非线性微分方程的解析解。,算例：自由落体运动,3.1 近似的方法,基本原理：泰勒级数展开,数值积分法：通过数值积分的方法求解,h步长,经典方法：龙格库塔方法,3.1 近似的方法,龙哥库塔方法Matlab函数：ode45t,y=ode45(orbit,tspa
11、n,y0,options),function dy = orbit(t,y,flag,mu)%函数说明输入输出dy =zeros(6,1);r = sqrt(y(1)2 + y(3)2 + y(5)2);dy(1) = y(2);dy(2) = -mu/r3*y(1);dy(3) = y(4);dy(4) = -mu/r3*y(3);dy(5) = y(6);dy(6) = -mu/r3*y(5);end,3.1 近似的方法,function robit_computermu = 3.986004418e+14; %地球引力常数tspan = 0:60:86400;options = odes
12、et(AbsTol,1e-15,RelTol,1e-12,NormControl,on);x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008;T,Y = ode45(orbit,tspan,x0,options,mu);plot3(Y(:,1),Y(:,3),Y(:,5),3.1 近似的方法,近似级数展开方法,An introduction to the mathematics and methods of astrodynamicsp110-p114有二体问题的近似级数展开详细推
13、导和高效迭代算法，请大家自学并完成问题3-5。,3.2 二体问题的解析解,二体运动方程,角动量矢量常数,3.2 二体问题的解析解,开普勒第二定理,二体问题角动量是常数,角动量在极坐标下的表示,面积化率,3.2 二体问题的解析解,偏心率矢量常数,拉格朗日矢量,偏心率矢量,3.2 二体问题的解析解,开普勒第一定理,矢量运算公式,其中f是e与r两个矢量的夹角，定义为真近点角,3.2 二体问题的解析解,圆锥曲线方程，当e在（0，1）之间时为椭圆，即开普勒第一定理,f= 0为近地点，f = 180为远地点,3.2 二体问题的解析解,开普勒第三定理,椭圆的面积,3.2 二体问题的解析解,行星（人造地球卫星
14、）扫过一圈的时间定义为行星的运动周期T,行星的运动周期,定义椭圆上的平均运动n,开普勒第三定理,这个定理是正确的吗？,3.2 二体问题的解析解,能力积分常数,3.2 二体问题的解析解,能量积分常数,动能,势能,动能+势能=常数 在中心引力作用系统能力守恒此公式又成为活力公式（vis-viva equations）,是航天动力学里面非常重要的一个恒等式。,3.2 二体问题的解析解,活力公式的应用，航天器速度的计算,讨论1：如何根据活力公式计算地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度？,讨论2：如何将一个低轨道飞行器转移到地球静止轨道？,3.2 二体问题的解析解,通过上述的推导，得到了角动量矢量h和偏心率
15、矢量e两个矢量常数，得到了二体问题轨道的空间方位、大小、形状，这两个常矢量如何决定的？,h、e是否就可以完整的描述航天器（行星）相对于地球（太阳）的完整的运动？,3.2 二体问题的解析解,h、e无法完整描述航天器相对地球的运动？,我们还需要一个积分常数，用于描述航天器在轨道上的位置？,由开普勒第二定理,得到,著名的开普勒方程，吸引了许多世界上顶尖的数学家的注意力，对数学许多分支的发展起到十分重要的作用,3.3 课后作业,1、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamicsp120问题3-6，p122问题3-12。2、以x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008人造地球轨道卫星的初始条件，编制C或C+程序，计算卫星轨道，并与Matlab的结果进行比较。,请批评指正！,
