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1、为什么需要讨论多维随机变量？,以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W。在这里，样本空间S=e某地区的全部学龄前儿童，而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。,多维随机变量及其分布,二维随机变量及其分布函数二维随机变量的边缘分布二维随机变量的条件分布随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布,返回,
2、退出,本章小结习题,设X1,X2, Xn时定义在同一样本空间S上的随机变量，则向量(X1,X2, Xn)称为n维随机变量或n维随机向量。 当n=2时，称为二维随机变量，记为(X,Y).,二维随机变量的分布函数,设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数： F(x,y)=P(Xx) (Yy)=P(Xx, Yy)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X,Y的联合分布函数。,二维随机变量,二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义,Px1Xx2,y1Yy2 =F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1),联合分布函数的性质,(1)F(x
3、,y)是x和y的不减函数。即对于任意固定的y，当x2x1时F(x2,y) F(x1,y)；对于任意固定的x，当y2y1时，F(x,y2) F(x,y1)。,思考问G(x,y)能否作为分布函数？答 不能。 虽然G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时， G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) =1-1-1+0=-10,如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)为离散型随机变量。,二维离散型随机变量的概念,称PXxi,Y=yjpij，i,j=1,2, 为(X,Y)的概率函数。列成表格称联
4、合分布列。 概率函数pij满足,二维离散型随机变量的概率函数,二维随机变量(X,Y)的分布函数定义为,二维离散型随机变量的分布函数,二维连续型随机变量、概率密度函数,如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，存在非负可积函数f(x,y)，使对于任何实数x,y，有则称(X,Y)为二维连续型随机变量。函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度函数（或联合密度函数）。,二维连续性随机变量概率密度函数的性质,由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质： (1)f(x,y)0；,注意,设E是一个随机试验，它的样本空间S =e，设X1= X1(e)X2= X2(e) ,Xn= Xn(e)是定
5、义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2, Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。,二维随机变量的分布函数,对于任意n个实数x1,x2, xn，n元函数： F(x1,x2, xn)=PX1 x1 , X2 x2 , , Xn xn, 称为n维随机变量(X1,X2, Xn)的分布函数，或称为随机变量X1,X2, Xn的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数类似的性质。,n维随机变量,返回,设(X,Y)为二维随机变量，则称随机变量X的概率分布为(X,Y)关于X的边缘分布；随机变量Y的概率分布为(X,Y)关于Y的边缘分布，其分布函数，密度函数和分布律分别记为：FX(x),FY(y
6、); fX(x),fY(y);pi. p.j.,二维随机变量的边缘分布,二维随机变量的边缘分布,例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度fX(x),fY(y).解,例2 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,返回,对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。 先从二维离散型随机变量开始讨论。 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布率为,考虑二维离散型随机变量的条件概率,设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若,二维离散型随机变量的条件概率,例1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固3只螺栓，其二是焊
7、接2处焊点。以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知(X,Y)具有分布律：,求在X=1的条件下，Y的条件分布律；求在Y=0的条件下，X的条件分布律。,解 在X=1的条件下，Y的分布律为在Y=0的条件下，X的分布律为,例 一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1)，射击直至击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。,解 由题意可知，X和Y的联合分布律为,考虑二维连续型随机变量的条件概率,二维连续型随机变量的条件概率,返回,设F(x,y)及FX(x),FY(y)
8、分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对所有x,y有 PXx,Yy=PXxPYy则称随机变量X和Y是相互独立的。等价命题有 F(x,y)=FX(x)FY(y) f(x,y)=fX(x)fY(y) PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,i,j=1,2, ,随机变量的独立性,练习1 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度求：系数A；F(x,y)；P2X+3Y6,练习2 设随机变量(X,Y)的概率密度为其中G是由0 x2,0yx2围成的区域。求：系数A；fX(x),fY(y)；fX|Y(x|y),fY|X(y|x)。,返回,Z=X+Y的分布,Z=X+Y的分布,例1 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)分布，其概率密度为求Z=X+Y的概率密度。,例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联连接，设R1，R2相互独立，它们的概率密度均为求总电阻R=R1+R2的概率密度。,M=max(X,Y)与N=min(X,Y)的分布,Z=X/Y的分布,例 设随机变量X与Y相互独立，且都服从U(-1,1)，求X/Y的概率密度。,例 设随机变量(X,Y)的概率密度为求随机变量Z=X-Y的密度函数,例 设随机变量X和Y相互独立，且都服从N(0,1)，令Z=X+Y,W=X-Y，求(Z,W)的密度函数。,返回,参见书P102,本章小结,返回,习题,返回,书P104,
