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1、自动控制原理 第8章非线性系统,自动化、电气专业最重要的专业基础课之一,2,第8章 非线性控制系统分析,8-1 非线性系统概述8-2 常见非线性特性及其影响8-3 相平面法8-4 描述函数法8-5 逆系统法（自学）,3,8-1 非线性系统概述,1.研究非线性的意义非线性是宇宙间的普遍规律实际系统基本上都是非线性的（动态和静态）线性只是理想情况，在非线性不严重的情况下可以用线性近似非线性系统的运动形式多样，种类繁多很多明显严重的非线性是不能近似的,4,非线性实例：1) 某些典型非线性环节饱和特性；死区特性；继电特性等,饱和特性,5,2. 非线性系统的数学模型f,g为非线性函数3. 非线性系统的处
2、理手段,当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。其数学模型一般表为：,有些可以近似为线性系统，以简化处理：当非线性程度不严重时，忽略非线性特性的影响；在系统的工作点附近，用小偏差法将非线性模型线性化。,非线性系统千差万别，对于非线性系统目前还没有普遍适用的处理方法,6,4. 非线性系统的特征根本特征：不能应用叠加原理1）稳定性分析复杂线性系统只有一个平衡（稳定）状态，一般为原点。非线性系统可能有多个平衡状态，稳定性与平衡状态相联系稳定性不仅取决于系统的结构参数，还与外作用形式和幅值以及系统的初始状态有关。,【例8.1.1】非线性系统方程为,分析其平衡状态。,7,解微
3、分方程，得,由,其平衡状态为,设t=0时状态初值为,8,2 当 时,随 增大而减小至0,当 时,随 增大而增大至0,9,2) 可能出现自激震荡现象自激振荡：指在没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。,自振是非线性系统特有的现象,线性系统只有在临界稳定时才会出现周期振荡，但不是自激振荡,10,考虑范德波尔（ van der pol ）方程,描述的是具有非线性阻尼的非线性二阶系统,当 时， 系统具有负阻尼，状态发散,当 时， 系统具有正阻尼，状态收敛,当 时， 系统具有零阻尼，系统周期振荡,所以，该系统从任何初始状态开始，都会出现自振,11,不同初值
4、的仿真计算,：不同的初值都出现自振,12,3）频率响应发生畸变在正弦信号作用下的稳态输出不一定是正弦信号。对于多值非线性环节，各次谐波分量的幅值可能跃变,一般情况下系统不允许自振，但有时利用高频小振幅自振克服系统的间隙、死区等对系统的不良影响，提高系统的精度。振荡器利用自振产生确定频率和振幅的振荡信号。研究自振产生的条件，确定自振的频率和周期是非线性系统分析的重要内容。,13,描述函数法频域分析法的推广图解分析法。对非线性特性进行谐波线性化处理。适用于系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。分析系统的稳定性，确定自激振荡。,逆系统法运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统设计外环控制网络直接研究非
5、线性控制问题，不必求解运动方程一种有前途的非线性系统研究方向,相平面法时域分析法的推广利用相平面图的图解分析法。仅适用于一阶和二阶系统。,3.非线性系统的分析设计方法,14,手机号码变更为：18954286909,元旦假期期间复习自控，建议完成前七章；复习重点放在重点内容的习题计算上！计算、计算、计算。,15,8-2 常见的非线性特性,1. 等效增益定义：非线性特性y=f(x)的输出与输入的比值理想放大器为比例环节，其增益为常数。非线性环节的等效增益随输入信号变化，可视为变增益比例环节。,16,2.典型环节的等效增益,继电特性继电器、接触器、开关等,死区特性测量原件、执行机构的不灵敏区造成,饱
6、和特性放大器、执行机构受电源电压及功率限制导致饱和现象,17,间隙特性(滞环特性)齿轮间隙、磁滞效应等。间隙特性为非单值函数。,摩擦特性机械传动机构中普遍存在。,18,3. 常见非线性因素对系统运动的影响,继电特性使系统产生自振,19,死区特性使系统存在稳态误差,饱和特性实际系统不会出现幅值到无穷大的发散运动,20,间隙特性(滞环特性)由于死区，降低系统的精度非单值函数，在运动方向变化时不驱动负载，导致能量积累通过间隙后，积蓄的能量释放使负载运动加剧通常会造成系统自振对系统性能不利，尽量消除。,摩擦特性造成系统在低速运动时的不平滑性，呈跳跃式变化。静摩擦到动摩擦的跳变产生对系统性能不利,21,
7、8-3 相平面法,1 相平面的基本概念,设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述,1885年，庞加莱提出相平面法,称为系统运动的相变量,为横坐标， 为纵坐标的平面称为相平面,构成的曲线称为相轨迹,22,23,3.相轨迹的绘制1）解析法找出 和 的关系,用求解微分方程的办法找出的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹，,24,25,如果以,和,作为变量，则可有,用第一个方程除第二个方程有,b）直接积分法,26,可分解为,27,【例8.2.1】绘制如下系统的相轨迹,初值为,解：微分方程改写为,两边分别求积分，得,28,该方程表示的相轨迹是一个圆，且圆的半径与状态初值有关,29,如果能确定相平面的相轨迹切线
8、方向场，则很容易绘制对应系统的相轨迹曲线。,2）等倾线法,30,等倾线法的基本思想：首先确定相轨迹的等倾线，然后绘制相轨迹的切线方向场，最后由初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。,等倾线：相平面上具有相同相轨迹切线斜率的点 的连线。,该方程给出了相轨迹在相平面上任一点的切线斜率,设二阶系统微分方程可以写为,31,取相轨迹切线斜率为某一常数，则,等倾线方程,由初始点出发，将相邻等倾线上的线段连接起来，即构成相轨迹。,32,使用等倾线法应注意：1）横坐标和纵坐标应采用相同的比例尺,2）在上半平面，由于 ，所以x随t增大而增大，相轨迹走向从左至右在下半平面， ,x随t增大而减小，相轨迹走向从右至左
9、,33,3）除系统平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交,4）等倾线越密，相轨迹越准确。可采用平均斜率法，即取相邻两条等倾线斜率的平均值为两条等倾线之间直线的斜率,与x轴相交时 ，若 则,所以，除系统平衡点外，相轨迹与x轴垂直相交,34,故等倾线方程为,35,等倾线方程,对应的相轨迹经过该等倾线的斜率，即切线斜率：,为等倾线与x轴的夹角,为相轨迹切线与x轴的夹角,的含义？,36,当 时,当 时,37,38,（1）线性一阶系统的相轨迹,3. 线性系统的相轨迹,39,40,（2） 二阶系统的相轨迹,二阶系统的运动方程为,当 ，可以表示为,其中,其特征根为,41,相轨迹微分方程为,令,得等倾线方程为,其中,
10、k为等倾线斜率,为相轨迹上一点处切线的斜率,42,在上式中，令,可得满足 的两条特殊的等倾线，其斜率为,当 时,特殊等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的斜率，即当相轨迹运动到特殊等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。,43,1）b0,当b0时，系统特征根为,讨论二阶系统的相轨迹,44,两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线，将平面分为4个区域。,当初始条件位于,系统趋向于原点，但是只要受到极其微小的扰动，系统将沿着 对应的相轨迹方向发散至无穷。所以，b0时，系统不稳定,45,2）b0,系统特征根为,相轨迹微分方程为,用积分法求得相轨迹方程为,a0时，系统收
11、敛a0时，系统发散,46,3）b0,取,（1）,分情况讨论,此时，特征根为具有负实部的共轭复根，系统衰减振荡。从相轨迹上也可以看出系统是稳定的,47,（2）,系统零输入响应为非振荡衰减存在两条特殊等倾线，斜率为,当初始点落在特殊等倾线上时，将沿直线趋于原点，除此之外，相轨迹沿着s1c(t)的方向收敛于原点。,48,（3）,特征根为两个相等的负实根,相轨迹的渐近线退化为一条不同初始条件的根轨迹都沿着这条特殊的等倾线趋于原点,49,（4）,系统有一对纯虚根,系统运动为等幅振荡运动，相轨迹为一簇椭圆,50,（5）,系统有一对具有正实部的共轭复根，系统不稳定，发散,51,（6）,系统有两个正实特征根，
12、系统不稳定,时，有两条特殊等倾线,时，有一条特殊等倾线,52,4. 奇点和奇线,（1）奇点,相轨迹上每一点的切线斜率为,使,成立的点称为相平面的奇点,奇点一定位于横轴上，因为,奇点处,系统处于稳定状态，所以奇点也是稳定点,位置?,53,奇点类型1）焦点：特征根具有负实部的共轭复根，奇点为稳定焦点；当特征根具有正实部的共轭复根时，奇点为不稳定焦点,稳定焦点,不稳定焦点,54,2）节点：当特征根具有两个负实根，奇点为稳定节点；当特征根具有两个正实根，奇点为不稳定节点,稳定节点,不稳定节点,55,3）鞍点：当特征根一个为正实根，一个为负实根时，奇点为鞍点,b=0时,56,若 解析，设 为系统的某个奇
13、点,可在奇点处线性化为,实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外,若 不解析，可分段线性化,57,【例8.2.1】非线性系统微分方程为,试求系统奇点，并判断奇点类型,解：,所以系统相轨迹微分方程为,58,在奇点(0,0)处,得特征根,故奇点(0,0)为稳定焦点,59,在奇点(-2,0)处,得特征根,故奇点(-2,0)为鞍点,60,（2）奇线,多个奇点共同作用，会产生特殊的相轨迹，称为奇线，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域 常见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区域划分为内部平面和外部平面,61,极限环类型1）稳定的极限环：邻近范围内的相轨迹均卷向极限环
14、，其内部外部均为极限环的稳定区域。系统沿极限环的运动表现为自激振荡。,稳定的自激振荡,62,2）不稳定的极限环：邻近范围内的相轨迹均卷离极限环，邻近区域为极限环的不稳定区域。,不稳定极限环所表示的周期运动是不稳定的，状态只要受到微小扰动就会使状态脱离极限环,扰动后不出现自激振荡,63,3）半稳定的极限环：内部卷向极限环外部卷离极限环，或外部卷向极限环内部卷离极限环,内部为稳定区域，外部为不稳定区域内部起始出现自振，外部起始不出现自振,内部为不稳定区域，外部为稳定区域内部起始不出现自振，外部起始出现自振,64,5.非线性系统相平面分析,常见非线性特性不能采用线性化方法。常见非线性特性曲线的折线构
15、成了相平面的分界线，称为开关线,【例8.2.2】具有死区特性的非线性控制系统,65,对于连续环节写微分方程,非线性环节特性为,66,误差表示为,代入,所以,整理得,因为,67,非线性环节将相平面分为三个区域,为便于分析，取 作为状态变量,区域,区域,区域,68,区域,区域,区域,为死区特性的转折点，也就是相平面的开关线,相平面分为三个区域，每个区域有不同的模型方程,69,区域,区域,区域,将上述方程中状态变量e(t)进行平移，得,区域,区域,区域,70,若给定参数,得,区域,区域,区域,区域、特征方程相同，为,相轨迹微分方程为,奇点为,71,对于区域、的特征方程,特征根为,所以，区域的奇点(-
16、,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线(=0.5),区域的奇点(,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线(=0.5),区域,区域,72,区域,相轨迹微分方程为,所以，奇点为,所以，区域的相轨迹沿直线收敛,且特征根为,73,零初始条件,状态初始条件,相轨迹分为三个区域，运动形式由该区域的线性微分方程的奇点类型决定相轨迹在开关线上改变运动形式，系统存在稳态误差,74,8-4 描述函数法,达尼尔(P.J. Daniel)1940年提出描述函数法描述函数法基本思想：系统满足一定条件时，系统中的非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。描述函数法
17、的应用：1）分析无外作用时，非线性系统的稳定性和自振问题2）不受系统阶次限制3）只能给出频率响应特性,75,1.傅立叶级数,周期为T的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里赫莱条件，则f(t)可展开如下的傅氏级数,称为角频率,其中,76,因为周期函数f(t)的周期为T，所以,77,2 描述函数的基本概念,1） 描述函数的定义,设非线性环节输入输出模型描述为,设非线性环节输入为正弦信号,对稳态输出进行谐波分析，展开为傅里叶级 数，可得,78,其中，,为直流分量,为n次谐波,转换关系,为傅里叶系数,79,若 ， 且 时， 均很小,则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应,非线性环节稳态输出中一次
18、谐波分量和输入信号的复数比定义为非线性环节的描述函数,80,试求其描述函数,解：,81,82,2. 一些性质,1）一般情况下，N(A)是A和的函数 若非线性环节无储能元件，则N(A)只是A的函数,2）如果非线性环节为输入x的奇函数，即,满足,则非线性环节的正弦响应是关于t的奇对称函数,83,证明：,即：,84,（1）对直流分量而言,证明：,85,86,87,3 典型非线性特性的描述函数,典型非线性环节一般是奇函数，且具有分段线性特性,【例8.3.1】计算如图所示继电特性的描述函数,解：继电特性的特性方程为,继电特性函数为奇函数，因为,所以,88,当 时,89,当 时,所以，y(t)为奇函数,9
19、0,继电非线性的描述函数,91,x,f(x),y(t),92,93,94,描述函数的物理意义,线性系统的频率特性 是频率的函数，而与输入正弦信号幅值无关,在无储能元件的情况下，非线性环节的描述函数是输入正弦信号幅值A的函数N(A)，描述函数可以认为是输入幅值A的复变增益放大器,95,1. 非线性系统描述函数法分析的应用条件,1）系统简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式,4 非线性系统稳定性分析的描述函数法,96,3）系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性，可将高次谐波分量大大削弱，闭环通道内近似只有一次谐波通过，从而保证描述函数法的结果比较准确,2）非线性环节的输入输出特性
20、f(x)应是x的奇函数，即 ,或者y(t)为奇对称函数，以保证非线性环节的正弦响应不含有直流分量，即,97,非线性系统整理为如下的典型结构，用描述函数N(A)近似表示非线性环节,若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统,1.变增益线性系统的稳定性分析,98,变增益系统如图,K 为比例环节增益设G(s)的极点均位于s左半平面，即P=0,闭环系统特征方程的频率特性为,99,或写为,（1）若K=1，为常值，则简化为普通的Nyquist稳定性判断问题，只要,则系统稳定，即 曲线不包围(-1,j0)点,100,（3）若K
21、是变化的，如,则 为实轴上的一段直线,若 不包围这段曲线，则系统稳定，否则系统不稳定,101,2.应用描述函数分析非线性系统的稳定性,用描述函数N(A)近似表示非线性环节的系统如图,系统特征方程为,即,称为非线性环节的负倒描述函数,102,则闭环系统不稳定，振幅A会增大,103,所以，闭环系统稳定，振幅A会减小,104,非线性系统稳定判据,105,【例8.3.2】非线性系统如图，分析系统的稳定性,解：对于线性环节来说,106,所以，,曲线包围 曲线,所以，闭环系统不稳定,查表（P.414）得非线性环节描述函数为,107,(2)两条曲线相交,若 曲线和 曲线相交，表明方程,有实数解，则系统存在无
22、外力作用的周期运动。两曲线相交时,实轴交点,108,由此可解得两曲线相交处的频率和幅值A。系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡。,即每一个交点对应着一个正弦周期运动。若系统在外界小扰动作用下偏离了该周期运动，而当扰动消失后，经过一段时间仍能恢复上述周期运动，则称为稳定的周期运动，即自激振荡。,没有外界周期变化信号的作用,109,图A：交点标记为N0,交点处周期运动振幅为A0,假设系统受小的扰动，使,所以，振幅将增大到A0,因为 曲线包围 曲线，系统不稳定,所以N0点的周期运动是稳定的,110,假设系统受小的扰动，使,所以，振幅将衰减，最终,因为系统稳定,所以N0点的周期运动是不稳
23、定的,所以，振幅将增大，最终,111,图C：两个交点,对于N20点，若,系统不稳定,若,系统稳定,所以N20对应的周期运动是稳定的,112,对于N10点，若,系统稳定,若,系统不稳定,所以N10对应的周期运动是不稳定的,113,图D：两个交点,对于N10点，若,系统不稳定,同理分析可知，N20对应的周期运动是不稳定的,若,系统稳定,所以N10对应的周期运动是稳定的,114,综合以上分析，可认为复平面上 包围的区域为不稳定区域， 不包围的区域为稳定区域,周期运动稳定性判据：在 曲线和 曲线的交点处，若 曲线沿A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，该交点对应的周期运动是稳定的，反之，则是不稳定的,
24、自振稳定不是系统稳定！,115,图A:稳定自振,稳定区域,图B:不稳定自振,116,图CN20为稳定自振N10为不稳定自振,图DN10为稳定自振N20为不稳定自振,117,【例8.3.3】具有饱和特性的非线性系统如图,1）分析K=15时系统的运动2）欲使系统不出现自振荡，确定K的临界值,解：1)饱和环节的描述函数为,118,那么 曲线一直在实轴上,因为饱和环节是奇函数，所以N(A)是实数,K=15时，对于线性部分，可计算得,119,曲线为从不稳定区域进入稳定区域，所以交点存在稳定的周期运动,根据,两曲线相交于,同时,所以，系统处于自振时，非线性环节的输入为,120,2)为使系统不出现自振，只需两条曲线不相交,调整K值，使 曲线右移,由,所以，K的临界值为,121,感觉难懂的知识点；各章节的时间分配；对实验的体会和建议；对教师的评价及对课程的建议；,122,考试时间：2010.1.6日8:30-10:30考试地点：南教217注意事项： 一定要带好学生证！,
