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1、全微分的概念与计算,一、全微分的定义,二、全微分存在的条件,三、全微分的几何意义,四、全微分在近似计算中的应用,复习:一元函数 y = f (x) 的微分,一、全微分的定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数
2、的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义 :,得,函数在该点连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数存在,函数可微,即,二、全微分存在的条件,1.必要条件2. 充分条件3.,定理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反例: 函数,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,机动 目录
3、上页 下页 返回 结束,定理2 (充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以函数,在点,可微.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意到, 故有,重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,回头看全微分公式,这与物理中的叠加原理相符.,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,的全微分为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,例2,解,例3,解,M,N,.,f (x),dy,x,微分是函数的局部线性化,.,用切线增量近似曲线增量,dy,dy =,在图上是哪条线段？,=tan x,复习一元函数微分,
4、即：,.,y,微分的几何意义,三、全微分的几何意义,几何意义,P,Q,M,N,x, y,A,B,dz=AB : 切面立标的增量,z= f (x ,y), z =AN ：曲面立标的增量,过点M的切平面：,即：,dz,z,=AB+BN,.,dz,=AB,用切面立标的增量近似曲面立标的增量,dz,全微分的几何意义,四、全微分在近似计算中的应用,有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径有20cm增大到20.05cm,高度由100cm减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.,设圆柱体的半径、高和体积依次为 r, h 和V,则有,例4,解,例5,解,例6,解,从而g的相对误差约为,例7,解,例8,证,内容
5、小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 微分应用, 近似计算, 估计误差,绝对误差,相对误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. P130 题 1 (总习题9),函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,2. 选择题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,也可写作:,当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03,3. P13 0 题 7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 设,解:,利用轮换对称性 , 可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( L. P245 例2 ),注意: x , y , z 具有 轮换对称性,
