第二章 一维随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、第二章 一维随机变量及其分布,主要内容：随机变量的概念及其分布函数一维离散型随机变量一维连续型随机变量一维随机变量函数的分布, 2.1 随机变量的概念及其分布函数 为什么要研究随机变量？ 将样本空间中的样本点与数量相联系，从而便于处理。 将随机事件与变量相联系(可用变量表示事件)，这样可以用函数方法研究概率问题。 正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件； 随机变量就是“其值随机会而定”的变量。其机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率。,如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，6这6个数值中的1个，到底是哪一个，要等掷了骰子后才知

2、道。因此，随机变量是试验结果的函数。,定义2.1.1 设(,F,P)为概率空间，称映射X:R为随机变量，如果对任意xR ，有 | X ()x F (2.1.1) |X()x是满足条件X()x的样本点的集合，是事件域F中的一个随机事件。 通常用X,Y, 来表示随机变量，用x , y , 表示其取值。,说明： 设X=X()，X()是定义在概率空间(,F,P)上的单值实函数。 对于任一实数x，样本点（基本事件）的集合|X()x都是F中的一个随机事件，则称X=X()为随机变量。 随机变量X=X()是样本点（基本事件）的函数，是自变量，在不必强调时，简记X()为X，而的集合|X()x 所表示的事件简记为

3、Xx。,定义随机变量后，随机事件可以用随机变量的取值范围来描述。例如对任意实数x,x1,x2可以证明，形如:X()=x, :X()x,:X()x, :X()x,:x1X()x2, w:x1X()x2,等等，都是随机事件，在不必强调时，简记:x1X()x2为x1Xx2。,用随机变量表示事件:例：在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数 X 是随机变量。 可能结果 w i =“100个产品中有i个废品” i=0,1,.,100 样本空间=w0, w1, w2, , w100 X=X (w) w X=X(w0)=0, X=X(w1)=1, X=X(w2)=2, , X=X(w100)=10

4、0 事件“废品数不超过50”=w : X (w) 50 =w0, w1, , w50 = X 50 事件30X 50=w30, w31, , w49,2.1.2 随机变量的分布函数,定义2.1.2 设(,F,P)为概率空间，X为随机变量，X的分布函数FX 定义为 :,定理2.1.1 设(,F,P)为概率空间，X为随机变量，其分布函数为FX ，则 上述三条性质为随机变量分布函数的特征性质，即若有定义于R上的实函数F满足性质(i)(iii)，则可以构造一个概率空间(,F,P)和其上的随机变量X，使FX (x)=F (x)，,2.2 一维离散型随机变量 称只能取有限多个不同的值或可列多个不同的值的这

5、类随机变量为离散型随机变量。 设离散型随机变量X的取值为a1, a2,an,，且已知 P(X = ai) = pi, i = 1,2,记 称上式右端为X的概率分布列，简称X的分布列，称(p1 , p2 , , pn , )为X的概率分布。概率分布满足以下两个性质：(1) pi0， i = 1,2,3, (2),离散型随机变量的分布函数为其图形为右连续阶梯函数，在各点ai处提高pi。,例 设射手进行计分打靶练习，有如下规定：射入区域e1得2分，射入区域e2得1分，否则就得0分）。一射手进行一次射击的得分是随机变量，其可能取得的值为0，1，2。不同的射手在射击之前，他们进行一次射击的得分值都是不可

6、预知的。 射手甲在一次射击中得分X的概率分布列为： 射手乙在一次射击中得分Y的概率分布列为：,e2,计算Y的分布函数:FY(x)=P(Y x):,当x0时， FY (x)=P(Y x)=P()=0当0 x1时， FY (x)=P(Y x)=P(Y=0)=0.6当1 x2时， FY (x)=P(Y x)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.6+0.3=0.9当2 x时， FY (x)=P(Y x)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2) =0.6+0.3+0.1=1,2.2.1二项分布 如果一个随机变量X取值为0,1, 2,n，且 称X服从二项分布，记为XB(n , p) 。二项分布列是：正是因为

7、 是二项式px + (1-p)n 展开中xk的系数，故称(2.2.3)给出的X的分布为二项分布,两点分布(0-1分布)：若随机变量X只能取两个值0和1，其分布列为： 单点分布(退化分布)：若随机变量X只取常数值C，即 实际上这时X并不是随机变量，为了方便和统一起见，将其看作随机变量。,当XB(n,p)时，ab，有下列公式： 随机变量X在 a和b之间取值的概率是 随机变量X的取值不超过b的概率是 随机变量X的取值至少是r的概率是,说明: 可用R软件中的binom()函数，计算n重独立试验中事件发生的概率。若 XB(n,p)，则 可调用pbinom(x, n, p)计算P(Xx)。 可调用dbin

8、om(k, n, p)计算P(X =k) (请注意二者的区别)。例2.2.1 设XB(10,0.9), 试求P(X=8), P(X8)和P(3X9 )。解,例2.2.2 已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为0.96。问在同样的条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中来犯敌机的概率大于0.999?解 设需发射n枚导弹，击中敌机的次数为X。由题意知各枚导弹是否击中是相互独立的，所以击中的次数XB(n, 0.96)，从而有 故至少需要发射3枚导弹。,例 一个完全不懂阿拉伯语的人去参加一场阿拉伯语考试。假设考试有5道选择题，每题给出n个结果供选择，其中只有一个结果是对的。试问他居然能答

9、对3题以上而及格的概率。解 每做1题是1次p=1/n的伯努利试验，这里A是“答题正确”，则考试是p=1/n的5重伯努利试验，在5题中恰好答对题数XB(5,1/n),此人及格的概率为： 当n=3时，此值=0.29当n=4时，此值=0.10,定理2.2.1 设XB(n, p)，当(n+1)p不为整数时，取m=(n+1)p的整数部分， 则P(X=m)=b(m; n, p)的值最大。 若(n+1)p为整数时，取m=(n+1)p, 则b(m;n,p)=b(m-1;n,p)同为最大值。,证明： 当k(n+1)p时，r1, 则b(k;n,p)b(k-1;n,p), 概率随k的增大而增大； 当(n+1)p是整

10、数且等于k时，r=1，则b(k;n,p)=b(k-1;n,p); 当k(n+1)p时，r1, 则b(k;n,p)b(k-1;n,p)，概率随k的增大而减小。,例2.2.3 渔塘主需估计自己的收入。他先从塘中捞起100条鱼，做上记号后放回塘里，过一段时间(使其均匀)再从塘中捞起80条鱼，发现其中有记号的鱼为2条。试估计鱼塘中有多少条鱼。解 设鱼的总数为N条， 则从塘中任意捞一条鱼，它有记号的概率为100/N。若鱼的数量较多，可近似认为，一网捞出80条鱼与有放回地捞取80条鱼的试验条件相同。所以，捞出的80条鱼中有记号的数量为X，且X近似服从二项分布 。,一般来说，小概率事件在一次试验中几乎不发生

11、；但若一次试验中某事件发生了，则其发生的可能性较大，甚至最大。 由定理2.2.1，当X=m=(n+1)p)的整数部分时，其概率最大，即X= ( (80+1)100/N)的整数部分时，事件发生的可能性最大，所以令 解得N=4050(条),2.2.2 泊松（Poisson）分布 若随机变量X以全体自然数(非负整数)为其一切可能值，即X=0,1,2,，其分布为 其中参数0, 则称X服从参数为的泊松分布，记为XPois()。R软件用函数dpois(k,)计算参数为的泊松分布P(X=k)。 泊松分布的概率分布列为,实际上，“稀有事件”(在有限时间内只发生有限次，在极短时间内只发生一次)发生的次数服从泊松

12、分布。例如: 在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施(公共汽车站、商店、电话服务台等)要求给予服务的顾客个数； 一段时间内放射性物质分裂落入某区域的质点数； 显微镜下看到的某种细菌的生长个数。,n=10, p=0.4, =np=4 n=40, p=0.1 =np=4随着n增大，若np不变, 则二项分布与泊松分布逐渐接近。,由于二项分布中n很大且p很小时，概率b(k;n,p)的计算较繁琐，希望用容易计算的分布来近似。注意到泊松分布与二项分布的关系,定理2.2.2(泊松定理) 设随机变量X服从二项分布B(n , pn) (pn(0,1)，并与n有关)，且满足 ,则,用泊松分布代替二项分布的条件

13、在实际应用中，当n很大，p很小时，有下面的近似公式(泊松分布近似两项分布)其中=np。,例2.2.4 假如一位孕妇生三胞胎的概率为10-4，求在100000个孕妇中，有0，1，2次生三胞胎的概率。解 按二项分布的n=100000和p = 10-4，并用R软件计算有b(0,100000,0.0001)=dbinom(0,100000,0.0001)=4.53772310-5b(1,100000,0.0001)=dbinom(1,100000,0.0001)=0.0004538177b(2,100000,0.0001)=dbinom(2,100000,0.0001)=0.002269293再由np

14、=10，计算相应的泊松分布 dpois(0,10)= 4.53999310-5 dpois(1,10)= 0.0004539993 dpois(2,10)= 0.002269996显然，这里的泊松逼近程度很高。,例 由商店的销售记录知，某商品的月售出量X服从=10的泊松分布。为能以95%以上的概率保证不脱销，问在无库存的情况下月底应进货多少？解 商店备货过多将明显地提高成本，而长期货源不足则会影响商誉。因此需用概率方法确定合适的备货量，依照问题的要求，若月底进货量为Q，则应使 P(XQ)0.95,P(X14)0.95 P(X15)0.95 应取Q=15。故月底进货该商品15件，可有95%以上的

15、把握使该商品在下个月的经营中不会脱销。,例2.2.5(合作问题) 设有同类设备80台，各台是否正常工作相互独立，各台设备发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障需由一个人来处理，试求：(1)由1个人负责维修指定的20台设备，设备发生故障而不能及时维修的概率。(2)由3个人共同负责维修80台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。解 (1) 由一个人负责维修20台设备时，设X表示同一时刻发生故障的设备台数,则XB(20,0.01)。因为一个人在同一时刻只能处理1台发生故障的设备，所以设备发生故障而不能及时处理，当且仅当同一时刻至少有2台设备发生故障，于是所求概率为,(2) 由3个人共同负

16、责维修80台设备时，设80台设备中同一时刻发生故障的台数为Y，则YB(80,0.01)。 当且仅当同一时刻至少有4台设备发生故障时，故障不能及时维修。所求概率为,由于一个人照管20台设备出现故障来不及维修的概率约为2%；而由三个人共同照管80台设备出现故障来不及维修的概率约为1%。 可见三个人共同照管80台设备(每人平均照管约27台)，比一个人单独照管20台更好，既节约了人力又提高了设备保障率。,几何分布问题：某射手的命中率为p，此射手向一目标独立地连续进行射击，直到命中目标为止。若用X表示首次命中目标时的射击次数， 则 X 概率分布列为:,2.2.3 几何分布 如果随机变量X的分布为 P(X

17、=k)=(1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 则称随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 XGeo(p)。几何分布描述这样的情形：独立地连续做试验，直到事件A首次出现为止。此时首次出现A时的试验次数为随机变量X，设P(A)=p，若第k次试验事件A首次出现，则前k-1次未出现，由试验的独立性知，X服从参数为p的几何分布。R软件中几何分布函数在X=k和Xk时分别为dgeom(k-1, p)和pgeom(k-1, p) 。,例2.2.6 设一地下采矿面有5个可以升到地面的通道。由于事故发生，5个通道中只有一个可以逃生，且没有照明，遇险者只能随意的在5个通道选一个出走。若途中发现该通道不通，则

18、返回出险地点后再随意选一个通道出走。试求：(1) 第三次选择通道才成功出走的概率。(2) 成功出走时已经选择其它通道的次数不大于6的概率。,解 由于每次选择都是在5个通道中选取，所以各次是否选对通道相互独立，且每次选对通道的概率为1/5，记X为成功出走时已选过的通道数，所以XGeo(0.2)。(1)第三次选择通道才成功出走的概率为(2)成功出走时已经选择其它通道的次数不大于6的概率为,几何分布的“无记忆”性特征： 如果试验第k次还未成功，从第k+1次起，首次成功出现在哪一次与k无关，即若XGeo(p)，则有证明,同样，也可证,超几何分布例 在一箱N件装的产品中混进了M件次品，今从中抽取n件(n

19、N) ，从中（即n件中）查出次品的件数X的概率分布-称为超几何分布。,负二项分布 在“成功”概率是p的贝努利试验中，出现第r次成功时所作的试验次数X所服从的分布称为负二项分布。由于f(k;r,p)是负指数二项式 展开式中的项，故X所服从的分布称为负二项分布。,例 两个同类型的系统，开始时各有N个备件，一旦出现故障，就要更换一个备件。假定两个系统的运行条件相同，不同时发生故障。试求当一个系统需用备件而发现备件已用光时，另一系统尚有r个备件的概率Pr。 (r=0,1, ,N)解 只考虑出故障的时刻故障的出现看作是贝努利试验，有,要第一个系统缺备件而第二个系统剩r件，应该是A出现N1次故障(前N次用

20、去所有N个备件，最后一次故障发生时缺乏调换的备件)，而A出现Nr次，这事件的概率为： 对于第二个系统先缺备件的情况可同样考虑，因此所求概率Pr为：,2.3 一维连续型随机变量 当随机变量X在整个实数轴上取值或在实数轴上的一个区间取值，而X的分布函数可写为一个非负可积函数的变上限积分时， 称X为一维连续型随机变量。,定义2.3.1 设(,F,P)为概率空间，X为其上的随机变量，FX(x)为X的分布函数。如果存在非负可积函数fX(x)和对任意实数x，使称X为连续型随机变量，称为fX(x)为X的概率密度函数，简称密度函数。 可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。,密度函数与分布函数的性质：,

21、(3) 而分布函数F(x)的导函数(在f(x)连续点上)就是其密度函数,即,(5) 密度函数f(x)并不直接表示概率值的大小。但在区间很小时， f(x) 的数值还是能反映出随机变量在x附近取值的概率大小的。上式表明，在小区间x-x,x内的概率值大约为密度值与区间长度x的乘积。,(6)可见，连续型随机变量X取一个固定值的概率为0。并且有,例 设随机变量X的分布函数为() 求常数、；() 判断X是否是连续型随机变量；() 求 P(-1X1/2)解 (1) 由分布函数性质得,(2)因为 所以F(x)不是连续函数，从而X不是连续型随机变量。,例 设已知连续型随机变量X的密度函数是(1) 确定a的值；(

22、2) 求X的分布函数F(x)；(3) 求概率P(X21)。解 (1)根据概率密度的性质，有a0以及 称该随机变量X服从标准柯西(Cauchy)分布。,(2) 求X的分布函数F(x)：(3)求概率P(X21)：,例 向半径为R的圆形靶射击，假定不会发生脱靶的情况，弹着点落在以靶心O为中心，r为半径(rR)的圆形区域的概率与该区域的面积成正比。设随机变量X表示弹着点与靶心的距离，试求X的分布函数F(x)及其密度函数f(x)解 因为不会发生脱靶，所以X的一切可能值是0,R， 当x0时，F(x)=P(X x)=P()=0， 当0 x R时，F(x)=P(X x) =k x2， 由于F(R)=P(X R

23、)=1， kR2 =1,当x R时，F(x)=P(X x)=P(必然事件)=1 由于 所以，密度函数为：,2.3.1 均匀分布 最简单的连续型随机变量X是密度函数在某有限区间取正的常数值，其余皆取零的随机变量，称为均匀分布。 均匀分布密度函数f(x)为,其分布函数F(x)为：,说明 均匀分布的概率密度函数fX在a,b上取常数，对任意满足ac0且1，满足分布函数的性质；又因密度函数fX是a,b上的常数(线密度)，故称这类分布为均匀分布。均匀分布的应用举例： 对几何概型，若投点落入区间a,b，设X为落点坐标，则XU(a,b)。 数值计算中的误差量服从均匀分布。,例 随机地向区间-1,1投掷点，X为

24、其落点坐标，试求关于t的二次方程 t2+3Xt+1=0 有实根的概率。解 X在-1,1上服从均匀分布，其密度函数为方程t2+3Xt+1=0 有实根的的充要条件是9X2-4 0则方程有实根的概率为,思考题 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻的可能性是相同的，求(1)乘客候车时间不超过3分钟的概率；(2)若甲、乙、丙分别独立等候1、2、3路汽车时，三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。答案：(1) P=0.6； (2)P=0.352,2.3.2 指数分布 若一个连续型随机变量X具有概率密度函数：则称X服从参数为(0) 的指数分布，记作 XExp()。R软件中对应

25、Xx的指数分布函数为pexp(x,a)。 其分布函数为 “稀有事件”(在有限时间内只发生有限次，在极短时间内只发生一次)发生的事件间隔服从指数分布。“寿命”问题也可认为服从指数分布。,指数分布的密度函数与分布函数图像,例2.3.2 设某服务窗口接待顾客的时间T服从参数为1/10的 指数分布(单位：分钟)，则其概率密度为 假设一次服务时间超过15分钟，顾客即评价为“不满意”，试求： (1) 10位顾客中恰有两位评价为不满意的概率。 (2) 10位顾客中最多有两位评价为不满意的概率 (3) 10位顾客中至少有两位评价为不满意的概率。,解 首先求出一位顾客评价为“不满意”的概率。用R软件计算有 P(

26、T15)=1-P(T15)=1-pexp(15,0.1)0.2231302 设每位顾客的服务时间相互独立且服从相同参数的指数分布 ，所以10为顾客中不满意的顾客数YB(10,0.2231) 10位顾客中恰有两位评价为不满意的概率 用R软件计算,(2) 10位顾客中最多有两位评价为不满意的概率(3) 10位顾客中至少有两位评价为不满意的概率。,指数分布的无记忆性： 指数分布与几何分布一样有无记忆性，若XExp()，对任意t0，s0，有,2.3.3 正态分布 实际上许多随机变量都服从或近似服从正态分布，如测量误差；产品的质量指示(零件的尺寸、材料的强度、电子管的寿命)；生物学中，同一群体的某种特征

27、(某种动物的身长、体重；某种植物的株高、单位面积产量，)等等。 在理论上可以证明，若X是某一随机试验的随机变量，如果决定试验结果的是大量的偶然因素的总和，各个偶然因素之间近乎相互独立，并且每个偶然因素的单独作用相对于作用的总和来说均匀地小，那么X就近似服从正态分布。 正态分布(高斯Gauss)分布是最重要的连续型分布，在概率论中占有极其重要的地位，有着十分广泛的实际应用。,正态分布:若随机变量X的分布密度为:,其中、0为常数，则称X服从参数为、的正态分布(高斯分布)，记作 XN(,2).,R软件中正态分布的P(Xx)的分布函数为pnorm(x)。,正态分布的分布函数为,特别地称N(0,1)为标

28、准正态分布，其概率密度及分布函数常记为：,由于 的原函数无显式表达，故标准正态分布经数值计算被制成表格，供正反查用。,若 XN( 2 )，则结论当a=-或b=+时也成立。证明 ab，有,一般正态分布的概率可由标准正态分布计算。 命题:若 XN( 2 ), 作标准变换：则新的随机变量 YN(0 1),证明：,正态分布的密度函数与分布函数有下列性质：(1) f(x)和F(x)处处大于零，且具有各阶连续导数；(2) f(x)在区间(-,)内单调增加，在区间(,+)内单调减少，在x=处取得最大值 。 当x-或x+时, f(x)0, 即x轴(y=0)是f(x)的渐近线, 即x离越远，f(x)的值越小，表

29、明对于同样长度的区间, 离越远，X落在这个区间上的概率越小。x=处曲线有拐点。,f(x)的图形关于直线x=对称，即f(-x)=f(+x)。是X的数学期望(加权平均值)。 =0时，则有f(-x)=f(x)，即这时f(x)关于y轴(x=0)对称。 固定，改变的值，则图形沿着Ox轴平移，形状不变，故正态分布的概率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数所确定， 称为位置参数。,固定，改变，由于最大值，可知越小，密度曲线越尖狭；因而X落在附近的概率越大；固定时，越大，密度曲线越平宽。 是X的标准差(描述了X的发散程度)。,(3) F(-x)=1-F( + x) 特别有 (-x)=1- (x)(4),(5)

30、 如果XN(0,1),则 P(|X|x)=2(x)-1证明(6) 如果XN(0,1)，则 P|X|x=2 1-(x)证明,例 设XN(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数(x)的表计算： (1)PX-1.24 (2)P|X|1.54 (3)使P(|X|x)=0.1的x。,例2.3.4 设已知测量误差XN(0,102)，现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。解 这个问题既涉及正态分布，又涉及二项分布。 第一步：以A表示一次测量中“误差绝对值超过19.6” 的事件，则有,第二步：以Y表示100次独立重复测量中，事件A发生的次数，则YB(100,0.05)。 误

31、差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率为 P(Y3) =1-P(Y2)=1-pbinom(2,100,0.05)=0.881737另外：由于n=100较大而p=0.05很小，故二项分布可用=np=5的泊松分布近似代替，得 P(Y3) =1-P(Y2) 1-ppois(2,5)=0.875348,例2.3.5 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的。设男子身高X服从=170cm, =6cm的正态分布，即XN(170，62)，试确定车门的高度。解 设车门的高度为hcm，根据设计要求应有 P(Xh)0.01，则 1-P(Xh)0.01 即 P(Xh)0.99 由于XN(

32、170，62)，,例2.3.6 (估计股价变化幅度)设某支股票的初始价格为S0=40元，预期收益率为每年16%，波动率为每年20%。在Black-Scholes模型下(Black和Scholes为1997年诺贝尔经济学奖得主)，股票在每个时刻t的价格St为随机变量，且其中 试估计六个月后这支股票的价格范围(允许出错的概率为5% )解 六个月即t = 0.5年，所以由题设有,例 从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位分钟）服从正态分布N

33、(60,16)，（1）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？（2）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？,解：,2.4 一维随机变量函数的分布 在许多情形下，当随机变量X的分布已知时，需要求出X的函数Y=f(X)的分布。 为了使Y有分布，要求Y是随机变量，因此对函数Y=f(X)也必须有一定的要求。 为简单起见，只讨论f(X)是连续、分段连续或单调的情形，在这些情形下，如果X是随机变量，则Yf(X)也是随机变量。 在一些具体的分布中，可以了解解决这类问题的基本方法。,离散型随机变量函数的分布,一般情况下，已知离散型随机变量X的分布列：则其函数f(X)的分布列(若某些f(Xi)相等，同值项概率相加)

34、为,例2.4.1 设X的分布列为试求函数YX2，Z2X-1，W|X|+1 的分布列。解 对于YX2， Y可取0，1，4，且,对于Z2X-1，Z可取-5, - 3, - 1, 1, 3，且对于W|X|+1， W可取1，2，3， 且,连续性随机变量函数的分布,对连续型随机变量X，可先求出f(X)的分布函数，再对分布函数求导，得到f(X)的密度函数。,例2.42 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y),从分布函数出发,当 y 0 时，FY (y) = 0,当 y 0 时，,故,即,例2.4.3 设连续型随机变量X的密度函数为fXx，试求Y=aX+b的密度函数fY(y)，其中a，b是常数，且a0。解 设Y的分布函数为FY(y)，Y的密度函数为fY(y)。 当a0时，有,当a0时，有,例设随机变量XN(,2), ，求 的分布密度fY(y)。,解：,表明服从任一正态分布的随机变量必定可以标准化(服从一般正态分布的随机变量经标准变换后服从标准正态分布)。,