第二章-随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、第二章 随机变量及其分布,1 随机变量,2 离散型随机变量及其分布律,3 随机变量的分布函数,4 连续型随机变量及其概率密度,5 随机变量的函数的分布,1 随机变量,1、对于某些随机试验，其结果本身就是数量。,例如:,掷一颗骰子，观察出现的点数。,其样本空间为：,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。,其样本空间为：,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。,其样本空间为：,2、对于某些随机试验，其结果不是数量。,例如:,其样本空间为：,其样本空间为：,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。,为了处理方便，我们定义一个样本空间上的“函数”：,这样

2、定义在样本空间上的函数X，Y称为随机变量。,随机变量的定义,如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点e，都对应着一个实数X(e)，而X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为随机变量。,e,X,例1 掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种情况:,若用X 表示掷一个硬币出现正面的次数,则有,即X(e)是一个随机变量.,实例2 在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:,若用X表示该家女孩子的个数时,则有,可得随机变量X(e),几点说明,(1)随机变量与普通的函数的区别,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空

3、间上的(样本空间的元素不一定是实数).,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,例 掷一颗骰子，用X表示出现的点数。则有,几点说明,(1)随机变量与普通的函数的区别,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,随机变量的

4、引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，使我们有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论。,随机变量的分类,根据随机变量的取值情况，把随机变量分为两类：,1、离散型随机变量,2、非离散型随机变量,所有可能的取值为有限个或可列个。,在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。,非离散型随机变量范围很广，情况比较复杂，其中有一类是很重要的，也是实际中常遇到的随机变量，即,连续型随机变量,在整个数轴上取值或取某个实数区间的全部值。,有些随机变量，它所有可能的取值只有有限个或可列无限多个，称这种随机变量为离散型随机变量。,例1 掷两颗骰子出现的点数和X，其所有可能

5、的取值为2，3，4,12，共11个可能值。,（离散型随机变量）,例2 某射手对活动靶进行射击，到击中为止，所进行的射击次数Y，其所有可能的取值为1，2，3,，因无法断言最多射击几次就能定能命中目标，故合理地应认为其可能取值是可列无限多个。,（离散型随机变量）,一、离散型随机变量的定义,2 离散型随机变量及分布律,对于离散型随机变量，我们所关心的问题是什么呢？,（1）随机变量所有可能的取值有哪些？,（2）取每个可能值的概率是多少？,二、离散型随机变量的分布律,分布列,设随机变量X所有可能的取值为,且取每一个可能值的概率为,称（*）式为随机变量X的概率分布（或称为分布律）。,（*）,（*）式也可表

6、为,三、离散型随机变量分布律的性质,1、,2、,特别地，当随机变量所有可能的取值为有限个时（如n个)，有,例1 已知离散型随机变量X的分布列为,试求常数a。,例2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下时，它已能过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律。,例3 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,例3 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解：X 所有可能的取值为：,P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X=1

7、)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,从而X的概率分布为：,0、1、2,例4 社会上定期发行某种体育彩票，每注2元，中奖率为p。某人每次随机购买1注，如果没有中奖下次再继续随机购买1注，直到中奖为至。求该人购买次数X的分布律。,具有如上分布律的随机变量X称为服从几何分布.,例5 若随机变量X所有可能的取值只有一个C，求X的分布律。,解,随机变量X的分布律为,称为退化分布。,三、几种重要的离散型随机变量,（一）,（01）分布,设随机变量X所有可能的取值为0和1，其分布律为,或写为,则称X服从参数为p的

8、（01）分布。,显然，若试验E只有两个可能的结果A与。,则在E上总,可以定义一个（01）分布：,此时，,2、伯努利试验,只有两个可能结果A与 的试验。,很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中某一特定结果是否发生感兴趣，因而也可将之归结为伯努利试验。,1、独立试验序列概型,在相同条件下重复进行试验的数学模型。,（二）伯努利试验、二项分布,例 明天的天气可以有多种情况，但若只关心明天是否下雨，则观察明天的天气（作为一次独立试验），其结果就只有两个：“下雨”或“不下雨”，因而可被看作是一个贝努利试验。,2、伯努利试验,只有两个可能结果A与 的试验。,很多随机试验，其可能的结果不

9、止两个，但由于人们常常只对试验中某一特定结果是否发生感兴趣，因而也可将之归结为伯努利试验。,1、独立试验序列概型,在相同条件下重复进行试验的数学模型。,（二）伯努利试验、二项分布,在实际应用上，经常要考察独立重复进行一伯努利试验的序列，并将这一独立重复的试验序列作为单独的一个复合试验来对待。这样的复合试验称为n 重伯努利试验。,2、伯努利试验,只有两个可能结果A与 的试验。,1、独立试验序列概型,在相同条件下重复进行试验的数学模型。,（二）伯努利试验、二项分布,3、n重伯努利试验,即n 次独立重复的伯努利试验称为n重伯努利试验。,每次试验中某事件A 或者发生或者不发生，假定每次试验的结果与其它

10、各次试验结果无关(即每次试验中事件A发生的概率都是p)，这样的一系列（比如n 次）重复试验称为n 重伯努利试验。,例 掷一枚硬币，其结果为A=“出现正面”或“出现反面”。,重复掷10次,伯努利试验,10重伯努利试验,重复掷 k 次,k 重伯努利试验,若在每次试验中，事件A发生的概率。,我们来求一下在n重贝努利试验中，事件A恰好出现k的概率。,下面，,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，,记为,特别，当n=1时的二项分布为,2、二项分布,若随机变量X的分布律为,例1 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批？产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只。

11、问这20只元件中恰有k只为一级品的概率是多少,例2 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。,例3 已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为0.96,问需在同样条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?,例3 已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为0.96,问需在同样条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?,于是,即,从而,例4 设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在一次试验中出现的概率?,例5 设随机变量X 服从参数为（2

12、，p）的二项分布，随机变量Y服,求,参数为（3，p）的二项分布，若,例6 一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎蒙一个阿拉伯语考试。假设此考试共5道选择题，每题给出n个结果可选择，其中只有一个结果是正确的。试问他居然能答对3题以上从而及格的概率。,例6 一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎蒙一个阿拉伯语考试。假设此考试共5道选择题，每题给出n个结果可选择，其中只有一个结果是正确的。试问他居然能答对3题以上从而及格的概率。,解 设此人答对的题数为X，则有,从而此人及格的概率为,例7 设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修式人的方法

13、，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,例8 设离散型随机变量X的分布律为,(A),(B),(C),(D),（三）泊松分布,若随机变量X的分布律为,则称随机变量X服从参数为 的泊松分布。记为,其中，,或,泊松分布图形的特点,1、定义,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.,近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.,2、泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的

14、 粒子个数的情况时,他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X 服从泊松分布.,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都近似服从泊松分布.,定理(泊松定理),定理(泊松定理),由已知,又因为k是定值，故,证明,证毕。,定理(泊松定理),例1 一大批产品的废品率为p=0.015，任取100个，求恰有一个废品的概率。,例1 一大批产品的废品率为p=0.015，任取100个，求恰有一个废品的概率。,解,用X表示这100个产品中的废品个数，则有,于是,由

15、于n较大而p很小，可用泊松分布公式所似代替二项分布公式。,其中,于是,3 随机变量的分布函数,对于非离散型随机变量X，由于其可能的取值不能一个一个列出来，因而就不能象离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。,另一方面，对于大部分非离散型随机变量X，讨论其取某一指定实数值的概率本身就没什么意义。（如连续型随机变量取某一指定实数值的概率等于0）,那么，怎样来研究非离散型随机变量呢?,例1 在一批灯泡中随机抽取一只，X表示抽到的灯泡的寿命。,人们关心的是：,从上述问题我们看到，人们一般关心的问题是随机变量X落在某个区间的概率是多少？,例2 某人去车站候车，X表示车到达该车站的时刻。,人们关心的是：,

16、例3 测量某桌子长度，X表示测量误差。,人们关心的是：,即如下形式的概率,因为,显然，,为随机变量X的分布函数。,我们称此函数,表示随机变量X落入区间 的概率：,研究随机变量落在某个区间的概率，我们只需要知道如下形式的概率就行了：,x,X,为x的函数，,1、分布函数的定义,设X为一个随机变量，x为任意实数，函数,称为随机变量X的分布函数。,2、分布函数的性质,（1）为单调不减函数。即对任意，都有,（3），即 是右连续的。,（4）,例1 如下四个函数哪个为某个随机变量X的分布函数,(A),(B),(C),(D),例2 设随机变量X的分布律为,求X的分布函数，并求,设离散型随机变量的分布律为,或,

17、3、离散型随机变量的分布函数,则X的分布函数为,例3 已知离散型随机变量的分布律为,分布函数是,试确定其中的a，b，c，d，e的值。,例3 已知离散型随机变量的分布律为,分布函数是,试确定其中的a，b，c，d，e的值。,解：由F(-)=0，F(+)=1,得 c=0,e=1,由P=1=F(1)-F(1-0),得 1-3/4=b,b=1/4,由1/4+a+b=1,从而a=1/2,由P=0=F(0)-F(0-0),得 1/2=3/4-d，,即a=1/2,b=1/4,c=0,d=1/4,e=1,例4 设随机变量X的分布函数为,例4 设随机变量X的分布函数为,例5 设随机变量X的分布函数为,求常数A和B

18、，并求概率,例5 设随机变量X的分布函数为,解：由分布函数的性质，我们有,解方程组,得解,求常数A和B，并求概率,于是,例5 一个靶子是半径为R米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X 表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.,例5 一个靶子是半径为R米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X 表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.,解：,x,R,（1）若 x 0,则 是不可能事件，于是,（2）若,由,有,解得,（3）若,于是,例5 一个靶子是半径为R米的圆盘，设击中靶上任一同心

19、圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X 表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.,F(x),x,不难发现，如果设,x,面积,4 连续型随机变量,1、定义,如果对于随机变量X的分布函数，存在非负函数，,使得对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，其中 称为X的概率密度函数，,简称为密度函数、密度或概率密度。,记为,一、密度函数,2、密度函数的性质,（1）,（2）,注意,满足性质(1)(2)的函数都可以看为某个连续型随机变量的概率密度.,（3）是 上的连续函数。,（5）对于任意实数，有,（4）,（6）若 在点x处连续，则,2、密度函数的性质,基本题型,2、已知分

20、布函数求密度函数：,1、已知密度函数求分布函数：,例1 设 和 分别为随机变量 和 的密度函数,则,为某一随机变量的密度函数的充要条件是什么？,例2 设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有,(A),(B),(C),(D),例3 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定a 的值；,(2)求X的分布函数,(3)求概率,例3 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定a 的值；,(2)求X的分布函数,(3)求概率,解:,由密度函的性质,有,(1),且有,从而,例3 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定a 的值；,(2)求X的

21、分布函数,(3)求概率,解:,由密度函的性质,有,(1),且有,从而,(柯西分布),例3 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定a 的值；,(2)求X的分布函数,(3)求概率,解:,由密度函的性质,有,(1),且有,从而,(柯西分布),(2),例3 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定a 的值；,(2)求X的分布函数,(3)求概率,解:,(3),(法一:利用分布函数),(柯西分布),(2),例3 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定a 的值；,(2)求X的分布函数,(3)求概率,解:,(3),(法一:利用分布函数),(柯西分布),(法二:利用密度函数),例4 设连续型随机

22、变量X 的密度函数为,(1)确定k 的值；,(2)求X的分布函数；,(3)求概率,例4 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定k 的值；,(2)求X的分布函数；,(3)求概率,解,例4 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定k 的值；,(2)求X的分布函数；,(3)求概率,解,（2）,当 时，,当 时，,例4 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定k 的值；,(2)求X的分布函数；,(3)求概率,当 时，,当 时，,从而X的分布函数为,例4 设连续型随机变量X 的密度函数为,(1)确定k 的值；,(2)求X的分布函数；,(3)求概率,从而X的分布函数为,例4 设连续型随机变量

23、X 的密度函数为,(1)确定k 的值；,(2)求X的分布函数；,(3)求概率,从而X的分布函数为,（3）,例5 设随机变量X的密度函数为,则概率,例6 一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为,某仪器内装有三个这样的电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要更换的概率。,例7 已知随机变量X的概率密度函数为,求X的分布函数。,二、几类重要的连续型随机变量,（一）均匀分布,1、定义,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X在区间 上服从均匀分布。,记为,若,则有,2、均匀分布的概率背景,如果随机变量X服从区间 上的均匀分布，则随机变量X在区间 上任意一个子区间上取值的概率与该子区间的长度成正

24、比，而与该子区间的位置无关。,即：X在区间 上等可能取值。,3、均匀分布的分布函数,例1 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00 到7:30之间的均匀随机变量。试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率。,例1 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00 到7:30之间的均匀随机变量。试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率。,解 设该乘客于7时X分到达此站,则X的密度函数为,令：A=候车时间不超过5分钟,例2 若随机变量X在 上服从均匀分布，求方程,有实根的概率。,例2 若随机变量X在 上服从均匀分布，求方程,有实根的概率

25、。,解,随机变量X的密度函数为,于是,例3 设X服从区间 上的均匀分布,且,求a,b的值。,（二）指数分布,1、定义,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为 的指数分布。,其中，,2、指数分布的分布函数,某些元件或设备的寿命服从指数分布。例如无线电元件的寿命，电力设备的寿命，动物的寿命等都服从指数分布。,指数分布的重要性质:“无记忆性”,对任意的正数s,t,则有,3、指数分布的应用与背景,（指数分布也称寿命分布）,如果将X看作某类动物的寿命，则上式可解释为某动物已活到s岁Xs，则它再活t年以上的概率与已经活过的岁数无关。所又称指数分布为“永远年青”的分布。,人生中，很多时候我们总是对

26、过去的失败耿耿于怀。这种经历使我们不敢面对现实，如果我们能从指数分布受到启发，运用“无记忆性”原则，那么我们的今天和明天将会更加美好。因为即使我们人生中的S小时已经失败，但我们面前的成功仍然还有S+T，和我们S小时前的成功几率一样。指数分布在人生中模式是：忘记过去，努力向前，向着标杆勇往直前。,例1 设顾客到某服务窗口办事，需要排队等候，若等待的服务时间X(单位:分钟)服从指数分布,其概率密度为,某人到此窗口办事，在等待15分钟仍未能得到接待时，他就要愤然离去，若此人在一月内共去该处10次，试求,(1)有2次愤然离去的概率；,(2)最多有2次愤然离去的概率；,例1 设顾客到某服务窗口办事，需要

27、排队等候，若等待的服务时间X(单位:分钟)服从指数分布,其概率密度为,某人到此窗口办事，在等待15分钟仍未能得到接待时，他就要愤然离去，若此人在一月内共去该处10次，试求,(1)有2次愤然离去的概率；,(2)最多有2次愤然离去的概率；,解,先求任一次等待时，愤然离去的概率,则在10次排队中，愤然离去的次数YB(10,0.2231),（1）,0.6735,（2）,0.2973,（三）正态分布,1、定义,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为 的正态分布或高斯分布。,记为,密度函数的图形：,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产

28、品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,2、正态分布的应用与背景,3、正态分布密度函数的性质,4、正态分布分布函数,5、标准正态分布,当 时称X服从标准正态分布。,标准正态分布的密度函数为：,标准正态分布的分布函数为：,由对称性，显然有,即有,特别地，有,计算,(1)时,查标准正态分布分布函数表:,例1 设，求,例2 设,求a,b。,例2 设,求a,b。,解:(a)=0.95151/2,所以,a0,反查表得:(1.66)=0.9515,故a=1.66,而(b)=0.04950,反查表得:(1.65)=0.9505,即:-b=1.65,故,b=-1.65,例3 设，求,例4 将一温度

29、调节器放置在贮存某种液体的容器内。调节器整定在，液体的温度X是一个随机变量，且。（1）若，求X小于98的概率。（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？,例5 设随机变量X服从正态分布,6、上 分位数,设，若 满足条件,则称点 为标准正态分布的上,分位点（或分位数）。,对正态密度函数的对称性，有,常用上 分位数：,0.001,0.005,0.01,0.025,0.05,0.1,3.090,2.575,2.327,1.96,1.645,1.282,例6(04)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的，,数 满足,若，则x等于,(A),(B),(C),(D),

30、5 随机变量的函数的分布,一、离散型随机变量函数的分布,二、连续型随机变量函数的分布,一、离散型随机变量函数的分布,设随机变量X的分布律为,求随机变量 的分布律。,或,（1）求出随机变量Y所有可能的取值；,（2）求出随机变量Y取每一个值的概率。,方 法,例1 设随机变量X的分布律为,试求 的分布。,例2 设随机变量X 的分布函数为,已知，求 的分布函数。,二、连续型随机变量函数的分布,设连续型随机变量X的密度函数（或分布函数），,求随机变量Y的密度函数（或分布函数）。,1、公式法,函数 处处可导且恒有（或恒有），则,是连续型随机变量，其概率密度为,其中,是 的反函数。,2、分布函数法,二、连续

31、型随机变量函数的分布,设连续型随机变量X的密度函数（或分布函数），,求随机变量Y的密度函数（或分布函数）。,积分上限函数的导数:,先求Y的分布函数，再求密度函数。,由分布函数的定义，Y的分布函数为,于是，Y的密度函数为,二、连续型随机变量函数的分布,设连续型随机变量X的密度函数（或分布函数），,求随机变量Y的密度函数（或分布函数）。,2、分布函数法,例1 设随机变量X的密度函数为,求随机变量 的概率密度。,例2(06)设随机变量X的概率密度为,(I)求Y的概率密度函数,例3 已知随机变量X的概率密度为,例4 设随机变量X的概率密度函数为,求 的概率密度。,例5 设连续型随机变量X有严格单调增加

32、的分布函数F(x),试求Y=F(X)的分布函数和密度函数。,第二章小结,1 随机变量,2 离散型随机变量及其分布律,3 随机变量的分布函数,4 连续型随机变量及其概率密度,5 随机变量的函数的分布,主 要 内 容,一、随机变量的定义,如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点e，都对应着一个实数X(e)，而X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为随机变量。,二、离散型随机变量及其分布律,所有可能的取值只有有限个或可列无限多个。,（一）定义,（二）离散型随机变量的分布律,分布列,设随机变量X所有可能的取值为,且取每一个可能值的概率为,称（*）式为随机变量X的概率分布（或称为分布

33、律）。,（*）,（*）式也可表为,（三）几种重要的离散型随机变量,（1）,（01）分布,设随机变量X所有可能的取值为0和1，其分布律为,或写为,则称X服从参数为p的（01）分布。,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，,记为,特别，当n=1时的二项分布为,（2）二项分布,若随机变量X的分布律为,（3）泊松分布,若随机变量X的分布律为,则称随机变量X服从参数为 的泊松分布。记为,其中，,或,定理(泊松定理),1、分布函数的定义,设X为一个随机变量，x为任意实数，函数,称为随机变量X的分布函数。,三、随机变量的分布函数,2、分布函数的性质,（1）为单调不减函数。即对任意，都有,（3），即 是右连续

34、的。,（4）,设离散型随机变量的分布律为,或,3、离散型随机变量的分布函数,则X的分布函数为,x,面积,1、定义,如果对于随机变量X的分布函数，存在非负函数，,使得对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，其中 称为X的概率密度函数，,简称为密度函数、密度或概率密度。,记为,四、连续型随机变量及其密度函数,（一）密度函数及其性质,2、密度函数的性质,（1）,（2）,（3）是 上的连续函数。,（5）对于任意实数，有,（4）,（6）若 在点x处连续，则,（二）几类重要的连续型随机变量,1、均匀分布,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X在区间 上服从均匀分布。,记为,均匀分布的分布函数,2、指数

35、分布,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为 的指数分布。,其中，,指数分布的分布函数,3、正态分布,（1）定义,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为 的正态分布或高斯分布。,记为,密度函数的图形：,（2）标准正态分布,当 时称X服从标准正态分布。,标准正态分布的密度函数为：,标准正态分布的分布函数为：,由对称性，显然有,即有,特别地，有,（3）一般正态分布与标准正态分布的关系,（4）上 分位数,设，若 满足条件,则称点 为标准正态分布的上,分位点（或分位数）。,对正态密度函数的对称性，有,（一）离散型随机变量函数的分布,设随机变量X的分布律为,求随机变量 的分布律。,或

36、,（1）求出随机变量Y所有可能的取值；,（2）求出随机变量Y取每一个值的概率。,方 法,五、随机变量函数的分布,二、连续型随机变量函数的分布,设连续型随机变量X的密度函数（或分布函数），,求随机变量Y的密度函数（或分布函数）。,1、公式法,函数 处处可导且恒有（或恒有），则,是连续型随机变量，其概率密度为,其中,是 的反函数。,二、连续型随机变量函数的分布,2、分布函数法,先求Y的分布函数，再求密度函数。,由分布函数的定义，Y的分布函数为,于是，Y的密度函数为,习题选讲,5 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞

37、来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。,（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。,（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。,（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。,15 在区间 上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在 中任意小区间内的概率与这个区间的长度成正比。试求X的分布函数。,19（1）由统计物理学知，分子运动速度的绝对值X服从马克斯韦尔分布，其概率密度为,其中，k为Boltzmann常数，T为绝

38、对温度，m是分,子的质量。试确定常数A。,23 设，（1）求,（2）确定c使得,（3）设d满足，问d至多为多少？,28 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布。,（1）求 的概率密度；,（2）求 的概率密度。,30（1）设随机变量X的概率密度为,求 的概率密度。,（2）设随机变量X的概率密度为,求 的概率密度。,31 设随机变量X的概率密度为,求 的概率密度。,补例1 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，若第一名队员投中的概率为0.4，第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布律。,补例2 设随机变量 的取值为 的取值为,且,则,为某一连续,型随机变量X的分布函数的概率为,补

39、例3 若要 可以成为随机变量X的密度函数,则X的可 能取值区间为,(A),(B),(C),(D),20 某种型号的器件的寿命X（以小时记）具有以下的概率密度：,设有一大批此种器件（设器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？,补例4 设一本书各页的印刷错误个数X服从泊松分布。已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随机抽查4页中无印刷错误的概率为多少？,补例5 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布，现有一常数a，任取的四个值，已知至少有一个大于a的概率为.，问a是多少？,补例6 设X为随机变量，若矩阵,的特征值全是实数的概率为0.5，则X可能服从,(A),(B),(C),(D),补例7 设随机变量X的概率密度为,(I)求Y的概率密度函数,补例8 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人4次射击恰好第2次命中目标的概率为,(A),(B),(C),(D),2007,