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1、第四节 实对称阵的对角化,第四章,二、实对称矩阵的对角化,三、小结,一、实对称矩阵的性质,定理1实对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、实对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义：,证明,于是,证明,它们的重数依次为,设 的互不相等的特征值为,由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3( 如上)可得：,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,二、利用正交矩阵将实对称
2、矩阵对角化,1.,解,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,对于实对称阵不同特征值的特征向量正交，,于是得正交阵,1.对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化,思考题,两个实对称矩阵若有相同的特征值，则它们相似.,说明：此题也可转化成求矩阵的所有特征值.,解,
