《自适应控制理论基础ppt课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自适应控制理论基础ppt课件.pptx（61页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、一 李雅普洛夫稳定性理论,李雅普洛夫意义下的稳定性李雅普洛夫第一法李雅普洛夫第二法线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析,1. 李雅普洛夫意义下的稳定性,平衡状态 满足 即x不再随时间变化,对线性定常系统：,其平衡状态满足,当A 非奇异，只有唯一零解（即零状态）；当A 奇异，有无穷多个平衡点。,对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。,李雅普洛夫意义下的稳定性,李雅普洛夫意义下的稳定性对平衡状态xe，初始状态 x0， 若对任意规定，在 t 0过程中，满足： 则平衡点 xe 是在李雅普洛夫意义下是稳定的。与有关，通常也与 t0有关。如果与t0无关，则为一致稳定。,李雅普洛夫意义下的稳定性,渐近稳定设平
2、衡点 xe 是在李雅普洛夫意义下是稳定的，同时满足 则称该平衡状态是渐近稳定的。,李雅普洛夫意义下的稳定性,大范围（全局）渐近稳定当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐近稳定。对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是大范围渐近稳定的。非线性系统的稳定性往往与初识条件有关。,李雅普洛夫意义下的稳定性,不稳定性如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管其多么小，在S()内总存在一个状态x0，使得由该状态出发的轨迹超出S()，则平衡状态xe称为是不稳定的。,2. 李雅普洛夫第一法,利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。定理1 对线性定常系统 有：系统的每
3、一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要条件为：A 的所有特征值均具有非正实部，且具有零实部的特征值为单根；系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充要条件为：A 的所有特征值均具有负实部。,3. 李雅普洛夫第二法,又称直接法，引入一个能量函数（即李雅普洛夫函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直接对平衡状态的稳定性做出判断。能量函数总大于零；对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数的导数应小于零。,李雅普洛夫第二法,定理2 对连续时间非线性时变自由系统 其中f (0, t) = 0为系统的平衡状态。如果存在一个对x 和 t 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t), V(0,t) =
4、 0, 且满足如下条件：V(x,t)正定且有界，即有V(x,t)对时间 t 的导数负定且有界，即有则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。,李雅普洛夫第二法,定理3 对定常系统 其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足：V(x)为正定的；V(x)的导数为负定的；当则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。,李雅普洛夫第二法,定理4 对定常系统 其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足：V(x)为正定的；V(x)的导数为半负定的
5、；对任意 不恒为0 ；当则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。,李雅普洛夫第二法,定理 5 （系统不稳定判定） 对时变或定常系统，如果存在一个具有连续一阶（偏）导数的标量函数V(x,t), 或V(x), （其中V(0,t) = 0, V(0) = 0），对于状态空间中围绕原点的某个域的一切 x和一切 t t0 满足：V(x,t)正定且有界，或V(x)为正定的；V(x,t)对时间 t 的导数正定且有界， V(x)的导数为正定的；则系统平衡状态为不稳定。,李雅普洛夫第二法举例,【例1】设系统状态方程为,沿任意轨迹V(x)对时间的导数,【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态选一正定的标量函数,即为
6、负定的,当,故系统在原点处是大范围渐近稳定的。,李雅普洛夫第二法举例,【例2】设系统状态方程为,【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态选一正定的标量函数,V(x) 对时间的导数为半负定,检验 是否不恒为0,当,故系统在原点处是大范围渐近稳定的。,4. 线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析,线性定常连续系统渐近稳定性的判定对系统 选择一正定二次型函数 P 为正定对称矩阵,只要矩阵 Q 正定，则系统是大范围渐近稳定的。,线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析,定理 6 对线性定常系统 其渐近稳定的充要条件为： 存在一个正定对称矩阵P，使得由 ATP+PA=Q 所确定矩阵 Q 为正定矩阵。 其中，xTPx
7、即为系统的一个Liyapunov函数。定理 7 对上述线性定常系统，其渐近稳定的充要条件为： 对于任意给定的正定矩阵 Q ，存在唯一的正定对称矩阵P，使 ATP+PA=Q 成立。,线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析,【例2】设系统状态方程为：求系统的Liyapunov函数,【解】设,则由 ATP+PA=Q 可解得,线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析,显然，为正定矩阵,验证：,故系统渐近稳定,线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析,线性定常离散系统渐近稳定性的判定设线性定常离散系统状态方程为：,取正定二次型函数,线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析,定理 8 对上述线性定常离散系统，其渐近稳定的充要条
8、件为： 对于任意给定的正定矩阵 Q ，存在唯一的正定对称矩阵P，使 TP P =Q 成立。相关概念及分析求解方法同连续系统,二 动态系统的正实性,正实函数与正实矩阵正定积分核线性定常连续系统的正实性线性定常离散系统的正实性,1. 正实函数与正实矩阵,定义1 (正实函数) 复变量 s = + j的有理函数h(s) 若满足：当s 为实数时，h(s)是实的；对于所有Re s 0 的 s ，Reh(s) = 0;则h(s) 称为正实函数。,正实函数与正实矩阵,定义2 (正实函数) 复变量 s = + j的有理函数h(s) 若满足：当s 为实数时，h(s)是实的；h(s)在右半开平面 Re s 0 上没
9、有极点；h(s)在虚轴上如果存在极点，则是相异的（即无重极点），且其留数为正或零；对于任意实数 ,当s = j不是 h(s) 的极点时，有Reh(j ) = 0; 则h(s) 称为正实函数。,正实函数与正实矩阵,定义3 (严格正实函数) 复变量 s = + j的有理函数h(s) 若满足：当s 为实数时，h(s)是实的；h(s)在右半闭平面 Re s 0 上没有极点；对于任意实数 , 均有Reh(j ) = 0; 则h(s) 称为严格正实函数。,严格正实函数在虚轴上无极点。,正实函数举例,【例1】,W(s) 极点为sa，a 0，且,故W(s) 为严格正实的。,正实函数举例,【例2】,可以验证，W
10、(s) 在右半平面无极点，,可知，当2 a0时， Reh(j) 0，故W(s) 不是正实函数,正实函数举例,【例3】,同【例2】，W(s) 在右半平面无极点，,当b1 = b0 / a1时， Reh(j) 0，W(s) 为严格正实函数当b1 b0 / a1时， W(s) 不是正实函数,正实函数判定引理,定理 1 设h(s) = M(s)/N(s) , 如满足： M(s)与N(s) 都具有实系数；M(s)与N(s) 都是古尔维茨多项式；M(s)与N(s) 的阶数之差不超过1；1/ h(s) 仍为正实函数；则h(s)为正实函数。,正实函数矩阵,定义4 (Hermite 矩阵) 复变量 s = +
11、j的矩阵函数H(s) 若满足：则H(s)为Hermite矩阵。,Hermite矩阵的性质：为一方阵，且对角元素为实数；其特征值恒为实数；如果H(s)为 Hermite矩阵，x 为具有复数分量的向量，则以下二次型函数恒为实数：,正实函数矩阵,定义5 (正实函数矩阵) 复变量 m m维实有理函数矩阵H(s) 为正实函数矩阵，则应满足：H(s) 的所有元在右半开平面上都是解析的， 即在Re s 0 上H(s) 没有极点；H(s) 的任何元在虚轴上如存在极点，则是相异的，其留数矩阵为半正定Hermite矩阵；对于非H(s) 的任何元的极点的所有实 值，矩阵H(j)+ H T(-j)为半正定Hermit
12、e矩阵；,正实函数矩阵,定义6 (严格正实函数矩阵) 复变量 m m维实有理函数矩阵H(s) 为严格正实函数矩阵，则应满足：H(s) 的所有元在右半开平面上都是解析的， 即在Re s 0 上H(s) 没有极点；对于所有实 值，矩阵H(j)+ HT(-j)为正定Hermite矩阵。,2. 正定积分核,定义 如果对于每个区间t0, t1及在区间上分段连续的所有向量函数 f (t)，方阵K(t, )使下式成立，即 则 K(t, ) 称为正定积分核。,正定积分核,正定积分核的物理解释 可理解为系统脉冲传递函数为K(t, )、输入为f (t)的系统输出，故不等式（1）的左端可解释为系统输入输出内积的积分
13、；当K(t, )正定时，该积分值为正或零。正定积分核的充要条件对存在拉氏变换的一类核K(t)是正定核的充要条件为：其拉氏变换式是 s 的正实传递函数矩阵。,3. 线性定常连续系统的正实性,对线性定常连续系统,其传递函数矩阵为 H(s) =C(sI A)1 BD 显然，H(s)为s 的实有理函数矩阵。如果H(s) 为正实函数矩阵，则系统（1）称为正实的。,线性定常连续系统的正实性,定理 2 （Kalman -Yacubovic- Popov正实引理） 对线性定常连续系统（1），系统为正实，即H(s) 为正实函数矩阵的充要条件是：,存在实矩阵K、L 和实正定对称矩阵P，满足：,其中，当 PA +
14、ATP = LLTQ, 且Q = QT 0 时，则H(s)为严格正实函数矩阵，即系统（1）是严格正实的。,线性定常连续系统的正实性,定理 2 的【说明】上述关系在D = 0时也同样成立。即在D = 0 时，如上述关系满足，则连续系统的传函是正实的或严格正实的。因Q 0，故即使 L = 0，作为充分条件，上述关系式同样成立，并可简化为： ATP + PA = Q BTP = C,线性定常连续系统的正实性举例,【例】求以下函数为严格正实的条件,4. 线性定常离散系统的正实性,离散正实函数在离散系统中，脉冲传递函数为h(z)z 与 s 的对应关系离散正实函数定义 如果对z= 1 的所有z，有Re h
15、(z) =0，则h(z)是正实的。 并且，如果有使 h(z) 为正实的 0 1 存在，则h(z)是严格正实的。,线性定常离散系统的正实性,离散正实函数的判定定理3 h(z)是正实的充要条件为：h(z)在 z 平面单位圆外无极点； 单位圆上的极点是单重的，且其留数为正；对除单位圆上的极点外的 z = ej的所有， 均有Re h(ej) = 0。定理4 h(z)是严格正实的充要条件为：h(z)在 z 平面单位圆外和单位圆上均无极点；对于z = ej的所有，均有Re h(ej) = 0。,线性定常离散系统的正实性,关于h(z)正实性判定的说明h(z)是s 的超越函数，要计算 Re h(ej) = 0
16、 一般非常复杂；考虑到s 与z 的一些基本对应关系，通过引入一个双线性变换 就可应用连续正实函数判定方法。h(z)正实性判定举例（）,线性定常离散系统的正实性,对线性定常离散系统,其传递函数矩阵为 H(z) =C(zI A)1 BD 显然，H(z)为z 的实有理函数矩阵。如果H(z) 为正实函数矩阵，则系统（1）称为正实的。,线性定常离散系统的正实性,离散正实矩阵定义1 称H(z) 为正实的，如果H(z)的所有元在单位圆外是解析的，即在单位圆外无极点；在单位圆上， H(z)的任何元均无重极点，相应的留数矩阵为半正定的Hermite矩阵；H(z)在除单位圆上的极点外的所有， 矩阵是半正定的Her
17、mite矩阵。,线性定常离散系统的正实性,定义2 称H(z) 为严格正实的，如果：H(z)的所有元在单位圆外是解析的；对所有， 矩阵是正定的Hermite矩阵。,线性定常离散系统的正实性,离散正定矩阵核定义 设F(k, l)是离散矩阵核，如果对于每个区间k0,k1，以及区间上有界的所有离散向量f( k)，均有 则称 F(k, l) 为离散正定矩阵核。对于存在 z 变换的一类离散核F(kl) ，它是离散正定矩阵核的充要条件为其 z 变换是一个正实函数矩阵。,线性定常离散系统的正实性,定理 5 （离散系统正实引理）对线性定常离散系统（2），系统为正实，即H(z) 为正实函数矩阵的充要条件是： 存在
18、实矩阵K、L 和实正定对称矩阵P，满足,其中，Q = QT 0 时，则H(s)为严格正实函数矩，即系统（2）是严格正实的。,线性定常离散系统的正实性,关于定理 5 的说明在上述关系式中，一般均有BTPB 0 ，因而不允许D=0。故对于离散系统，如果D = 0，则系统将不是正实的。因P 0、 Q 0，故即使 K = 0 、L = 0，作为充分条件，上述关系式同样成立，并可简化为： ATPA P = Q BTPA = C BTPB = D +DT,线性定常离散系统的正实性举例,【例】,三 超稳定性理论,绝对稳定性问题超稳定概念连续系统的超稳定性离散系统的超稳定性超稳定方块,1. 绝对稳定性问题,绝
19、对稳定性问题（针对一类非线性反馈系统）前向通道（方块）：线性定常系统反馈通道（方块）：无惯性（或时变的）非线性环节,反馈通道的输出为：,绝对稳定性问题,可见，上述系统要求反馈方块在每一瞬间的输入和输出的乘积均大于零。研究这类系统的稳定性问题，称为绝对稳定问题：即当平衡点 x = 0 全局渐近稳定时，系统前向方块的线性部分应满足什么条件？,2. 超稳定概念,超稳定性问题将绝对稳定性中非线性部分的条件放宽，即输入输出特性用积分不等式（即Popov积分不等式）表示：,将满足 Popov积分不等式条件的稳定性问题称为超稳定性问题，超稳定性问题是绝对稳定性问题的推广。,超稳定概念,对于由线性定常前向方块
20、和非线性时变反馈方块组成的系统设线性方块为,反馈方块为：,超稳定概念,定义 1 对上述反馈系统，如果式（1）的解满足,则系统是超稳定的。,定义 2 对上述反馈系统，如果系统是超稳定的，且对有界w (t)，有,则系统是渐近超稳定的。,3. 连续系统的超稳定性,定理 1 对上述由线性方块与满足Popov积分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统，其（渐近）超稳定的充要条件是其线性方块的传递函数矩阵： H(s) =C(sI A)1 BD 是（严格）正实的。,4. 离散系统的超稳定性,对离散系统前向线性方块：,反馈方块为：,离散系统的超稳定性,定理 2 对上述由线性方块与满足Popov积分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统，其（渐近）超稳定的充要条件是其线性方块的传递函数矩阵： H(z) =C(zI A)1 BD 是（严格）正实的。,5. 超稳定方块,超稳定方块不论线性或非线性方块，只要其输入输出的内积满足Popov积分不等式：,则该方块称为超稳定方块。,超稳定方块,传递函数矩阵为正实的线性系统方块是超稳定方块。【证】 考虑线性连续系统（1），由正实定理，存在正定对称阵P，使下式成立,超稳定方块,对上式积分，得,故正实的线性系统方块是超稳定方块,超稳定方块的组合,两个超稳定方块 H1、H2的并联组合，也是超稳定方块。,超稳定方块,两个超稳定方块 H1、H2的并联组合，也是超稳定方块。,
