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1、,最优估计,第8章 线性连续系统卡尔曼滤波,离散系统取极限的推导方法 卡尔曼滤波方程新息推导法 线性连续系统滤波器的一般形式 滤波的稳定性及误差分析,研究连续系统的必要性：实际的物理系统往往是连续的，故离散系统的描述不能完全代替连续时间系统。,问题：,4,8.1 离散系统取极限的推导方法,推导方法思想：当采样稠密或采样间隔趋于零时，取离散系统的极限，将离散系统的结果转化为连续系统的公式。,步骤1：建立(8.1.1)的等效离散线性系统数学描述,由 5.3 知，等效模型：,利用离散线性系统卡尔曼滤波方程(132页)及下列等效关系：,得等效离散线性系统的卡尔曼滤波方程：,步骤2：求等效离散模型的卡尔
2、曼滤波方程,(8.1.3),(8.1.4),(8.1.5),(8.1.6),步骤3：对离散卡尔曼滤波公式取极限,-(8.1.8)最优滤波方程,线性连续系统的卡尔曼滤波方程，是一个一阶微分方程。,-增益矩阵,-估计误差方差,11,线性连续系统卡尔曼滤波求解公式,注：连续系统的卡尔曼滤波估计问题归结为求解微分方程问题；矩阵黎卡提微分方程很难求解。,12,线性连续系统卡尔曼滤波方程,13,两点说明：,16,8.2 卡尔曼滤波方程新息推导法,新息的性质：新息是一个与测量噪声有相同统计值的白噪声过程。,新息：,17,推导过程,步骤1：构造估计量的函数形式,步骤2：对上述函数关于时间求导,步骤3：确定增益
3、阵 K(t),步骤4：求 P(t)的导数,与极限推导法的结果一致。,21,连续线性定常系统的卡尔曼滤波,若系统模型中的各参数为常数，即,当估计过程达到稳态时，黎卡提微分方程中的与时间无关，其微分为零，则,滤波方程为：,例,二阶系统状态及观测方程：,噪声及初值：,求卡尔曼滤波方程及增益、方差矩阵方程。,由滤波公式，得：,将上式展开，有：,25,8.3 线性连续系统卡尔曼滤波器的一般形式,系统模型：,w(t)和 v(t)均为零均值白噪声过程，且,建立与式(8.3.1)(8.3.2)等效的线性离散系统的数学模型：,-(8.3.1),-(8.3.2),建立与式(8.3.1)(8.3.2)等效的线性离散
4、系统的数学模型：,含控制项，过程噪声和观测噪声相关。,是零均值分段常值白噪声过程，其协方差阵分别为：,式中：,将下列代换关系：,带入离散卡尔曼滤波公式(6.3.4a)(6.3.4e)，得：,(8.3.8a),(8.3.8b),(8.3.8c),(8.3.8d),(8.3.8e),(8.3.8f),(8.3.8d),(8.3.9),(8.3.10),(8.3.11),(8.3.15),31,线性连续系统卡尔曼滤波的一般形式：,(8.3.16a),(8.3.16b),(8.3.16c),32,8.4 滤波的稳定性及误差分析,8.4.1滤波器的稳定性,研究滤波的稳定性，只需研究滤波方程对应齐方程的稳定性。,连续线性系统的能控能观性：,滤波稳定性定理,稳定性定理表明，当测量时间足够长，滤波系统的最优滤波值最终与初始状态如何选取无关。可以证明，滤波估计误差的方差也将最终与初始误差方差阵的选取无关，而趋于稳态值。滤波增益矩阵也具有这种渐进特性。,例,系统的状态方程和观测方程如下：,判断滤波系统的稳定性。,则可控性矩阵：,状态一致完全可控,则可观性矩阵：,状态一致完全可观,8.4.2 滤波器估计误差分析,当数学模型不准确、噪声统计特性不准确、初始状态估计有差异，或者只有其中一种因素存在时，卡尔曼滤波器只是次优的。,结论1,结论2,若系统是一致完全能控制和一致完全能观测时，有一致的上界。,
