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1、24 November 2022,1,复习引入,(Introduction),在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”,给出了“基本积分公式表” 。,但是，,对于形如,这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表,我们就无能为力了。,为此，,24 November 2022,2,第三节 换元积分法与分部积分法,第四章,一、换元积分法,二、分部积分法,三、小结与思考题,24 November 2022,3,设,可导,则有,基本思路,24 November 2022,4,一、第一类换元积分法,定理1,则有换元,公式,(也称配元法, 凑微分法),24 November 2022,5,解,20
2、22年11月24日星期四,6,解,所以,24 November 2022,7,解,24 November 2022,8,例4 求,答案：,例5 求,例6 求,答案：,例7 求,答案:,例8 求,答案：,或,24 November 2022,9,答案：,答案：,答案：,答案：,答案：,自学课本例14,24 November 2022,10,万能凑幂法,常用的几种配元形式:,2022年11月24日星期四,11,24 November 2022,12,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则用第二类换元积分法 .,难求，,24 November 2022,13,是单
3、调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,则有换元公式,定理2 设,24 November 2022,14,解: 令,则, 原式,例14求,24 November 2022,15,解: 令,则, 原式,例15 求,24 November 2022,16,解:,令,则, 原式,例16 求,24 November 2022,17,令,于是,24 November 2022,18,或,从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：,可作代换,可作代换,可作代换,24 November 2022,19,解,于是,2022年11月24日星期四,20,常用基本积分公式的补充,24 November 20
4、22,21,24 November 2022,22,新知识引入,(Introduction),前面，我们利用复合函数的求到法则得到了,“换元积分法” 。,但是，,对于形如,的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.,注意到，,这些积分的被积函数都有共同的特点,都是两种不同类型函数的乘积。,这就启发我们把两个,这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.,函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，,24 November 2022,23,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,由导数乘法公式：,2022年11月24日星期四,24,第四章,（Integration by P
5、arts）,例18 求,解: 令,则, 原式,另解: 令,则, 原式,三、分部积分法,答案,24 November 2022,25,解,原式,解,.,24 November 2022,26,解: 令,则,原式 =,例22 求,24 November 2022,27,解,24 November 2022,28,解: 令,则, 原式,例24 求,24 November 2022,29,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,例25 求,自学课本例26、28,24 November 2022,30,解: 令,则,原式,令,例26
6、求,24 November 2022,31,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,例5（补充题）求,解: 令, 则,原式 =,反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数,解题技巧:,（自学课本例56）,24 November 2022,32,解: 令, 则,原式 =,例6（补充题）求,24 November 2022,33,本节小结,2.分部积分公式,(1) 使用原则 :,(2) 使用经验 :,“反对幂指三” , 前 u 后,(3)题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,递推公式,1.换元积分法,24 November 2022,34,课后练习,习题4-3 2单数 ; 3单数,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,24 November 2022,35,2. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?,令,令,令,24 November 2022,36,3. 求下列积分:,24 November 2022,37,4. 下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,求此积分的正确作法是用换元法 .,24 November 2022,38,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,5.,
