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1、,第四章,不定积分,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,一、原函数和不定积分的概念,定义1 设f(x)是定义在区间(a,b)上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，使得在(a,b)上的任意一点x有 或 则称函数F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数,定理1 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，则F(x)+C(为任意常数)也是f(x)在区间I上的原函数，并且f(x)的任一原函数均可表示成F(x)+C的形式,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等
2、数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,定义2 在区间I内，函数f(x)的全体原函数F(x)+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx，其中，称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为被积变量，C称为积分常数,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例1 求,解 由于，所以，x3是3x2的一个原函数，因此,例2 求,解 由于，所以，cosx是sinx的一个原函数，因此,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积
3、分法,例3 求,解 当 时，；当 时，因此,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,二、不定积分的几何意义,当积分常数C取不同值时，不定积分表示的不是一个函数，而是一族函数从几何上看，它们代表一族曲线，称为函数f(x)的积分曲线族，如图4-1所示,图4-1,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,积分曲线族具有以下两个显著的特点：,（1）积分曲线族中所有的曲线都可以由其中任意一条曲线沿着y轴方向上下平移得到；（2）对应同一横坐标x的点，其所有切线互相平
4、行,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例4 求经过点（1,3）且切线的斜率为2x的曲线方程,解 设所求曲线方程为y=F(x)，由题意知F(x)=2x，而即2x的积分曲线族为y=x2+C将x=1,y=3代入，得C=2 故所求曲线方程为y=x2+2,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,三、不定积分的性质,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,四、基本积分公式,（1）（2）（
5、3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例5 求,解,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例6 求,解,例7 求,解,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例8 求,解,例9 求,解 本题不能直接运用基本积分公式 可由公式 得,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元
6、积分法,分部积分法,例10 求,解,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例11 已知物体以速度v=2t2+1(m/s)沿Ox轴做直线运动，当t=1s时，物体经过的路程为3 m，求物体的运动方程,解 设物体的运动方程为x=x(t)，于是有，x(t)=v=2t2+1，所以将已知条件t=1s时，x=3m，代入上式有，即 于是，所求物体的运动方程为,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,一、第一换元积分法,定理1（第一换元积分法）设函数f(u)具有原函数
7、F(u)，且u=(x)可导，则函数F(x)是函数f(x)(x)的原函数，即有换元公式这个公式称为第一换元积分法，也称为凑微分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例1 求,解 将dx进行配凑，因为，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例2 求,解 将dx进行配凑，因为，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例3 求,解 将dx进行配凑，因为，所以,高等数学,
8、不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例4 求,解 将dx进行配凑，因为，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）,一些常用的凑微分形式:,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例5 求,解 因为，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例6
9、求,解 因为，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例7 求,解 因为，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例8 求,解 因为，其中，所以 同理，可求得,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例9 求,解 因为，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,二、第二换元积分法,例10 求,解
10、 因为被积函数含有根号，不容易凑微分，为了去掉根号，可先换元 令，则，于是有,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,最后回代，得,定理2（第二换元积分法）设f(x)连续，x=(t)是单调、可导的函数，且(t)0，则有换元公式其中，t=1(x)为x=(t)的反函数,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例11 求,解 求这个积分的主要困难是，所以令，则，显然，于是,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质
11、,换元积分法,分部积分法,例12 求,解 被积函数中含有 和 两个根式，作变换，可同时将两个根号去掉，则,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,三、补充的积分公式,（1）（2）（3）（4）（5）,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为即 对上式的两边求不定积分，有即 上式简记为 此公式为分部积分公式,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念
12、与性质,换元积分法,分部积分法,例1 求,解 设，则，于是,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例2 求,解 设，于是,所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例3 求,解 设，于是,所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例4 求,解 设，于是,所以对 再进行一次分部积分，由例1得,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例5 求,解 设，于是,所以对于积分，再设，于是，所以从而故,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例6 求,解,谢谢,THANK YOU,高等数学,
