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1、定理,一、定积分的换元积分法,则有,定理一、定积分的换元积分法则有,证,证,定积分的换元法与分部积分法2,(1) 用 x=(t) 把变量 x 换成新变量 t 时，积分上 下限也相应的改变为新变量的上、下限，且 新变量与旧变量的上、下限要分别对应.,(2) 求出 ftt的一个原函数 t 后，不必 象计算不定积分那样再要把 t 变换成原变 量 x的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分 别代入t 然后相减就行了.,应用换元公式时应注意:,(1) 用 x=(t) 把变量 x 换成新变量 t 时，积,例1 求,解,令,例1 求解令,练习：计算,解,令,原式,练习：计算解令原式,例2 求,例2 求,例3
2、. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例3. 计算解: 令则 原式 =且,练习： 求,解,令,练习： 求解令,例3 计算,解,令,例3 计算解令,上例说明:,定积分的换元公式可以反过来使用.,即有:,即可以用 来引入新变量 t ,上例说明:定积分的换元公式可以反过来使用.即有:即可以用,例4 计算,解,令,例4 计算解令,练习： 计算,解,原式,练习： 计算解原式,例5 计算,解,例5 计算解,证,证,定积分的换元法与分部积分法2,定积分的换元法与分部积分法2,奇函数,例 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,奇函数例 计算解原式偶函数单位圆的面积,证,（1）设,证（1）设,（2）设,（2）
3、设,定积分的换元法与分部积分法2,推导:,二、定积分的分部积分法,定积分的分部积分公式推导:二、定积分的分部积分法,例1 计算,解,令,则,例1 计算解令则,例2 计算,解,例2 计算解,例3 计算,解,例3 计算解,例 4 计算,解,例 4 计算解,例6 设 求,解,例6 设,定积分的换元法与分部积分法2,例7,例7,例8 证明定积分公式,证,设,例8 证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,积分 关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止,于是,于是,例,例,几个特殊积分、定积分的几个等式,1、定积分的换元法,三、小结,2、定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,几个特殊积分、定积分的几个等式1、定积分的换元法三、小结2、,思考题,解,令,思考题解令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是,练 习 题,练 习 题,定积分的换元法与分部积分法2,定积分的换元法与分部积分法2,定积分的换元法与分部积分法2,练习题答案,练习题答案,练 习 题,练 习 题,定积分的换元法与分部积分法2,练习题答案,练习题答案,定积分的换元法与分部积分法2,
