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1、第二章 最佳平方逼近 - 另一种函数逼近问题,最佳平方逼近问题的提法：,它是度量函数的大小和函数之间逼近程度的一种度量，称为平方尺度,在平方度量下，通过极小化过程找出一个广义多项式，使平方误差达到最小。,解最佳平方逼近问题：1）如何选取广义多项式空间 ？2）广义多项式是否存在？是否唯一？3）如何求得广义多项式？,2.1. 正交多项式及其性质,定义1.1.,常见的权函数：,3),2),1),4),5),定义1.2.,内积的性质：,（对称性）,（双线性性质 ）,（正定性）,（Cauchy-Schwarz 柯西-施瓦兹 不等式）,连续函数空间,内积空间的重要结论,在连续意义下的内积,连续函数空间：所
2、有定义在a,b上的连续函数集合，按照函数的加法和乘法构成实数域上的线性空间，记作Ca,b.,由内积诱导出范数,定义1.3. 一个实函数称为一个函数空间的范数，如果它在空间上处处有定义，并满足如下条件：,（正定性）,（齐次性）,（三角不等式）,在闭区间上连续的函数 的最常用的范数有：,定义1.4.,定义1.5.,特别地，,在连续意义下的正交,可以证明：正交函数系 必是线性无关的函数系.,？,Gram-Schimidt（格拉姆-施密特）正交化方法：,例如：三角函数系：,是 上带权 的正交函数系.,例如：幂函数系： 一族线性无关的函数列。,问题：如何由 得到一组正交函数列。,正交多项式构造问题,类似
3、地，,定理.,定理.,说明：线性无关函数系给定后，正交函数系由区间和权函数唯一确定！,推论1.,提示：只需利用正交性，确定出系数 即可。,正交多项式的性质：,性质1.,性质1.,推论2.,提示：,性质2.,证明：,注意到，当 时，有 。,当 时，有 。,于是，,再确定 ，得证。,性质3.,证明：,留作课后练习！,几种常用的正交多项式,1 勒让德 (Legendre) 多项式,1814年Rodriguer (罗德里克斯,法国人) 给出了它的一般表达式：,1785年，Legendre引进.,勒让德多项式性质,性质1.,证明：,1) 它是个2m次多项式.2) -1和1是它的m重零点.,若取 ，有,分
4、部积分,于是，有,性质2.,故 Ln(x) 的首系数为,性质3.,这说明： n 为奇数时, Pn(x)为奇函数; n 为偶数时, Pn(x) 为偶函数; 利用 得当 n 为偶时，xn 2j 均是偶函数, 故 Ln(x) 为偶函数。同理,可证明奇数情况。,性质4.,用定义容易检验,使用递推公式得,性质5.,2 切比雪夫 (Chebyshev) 多项式,切比雪夫多项式性质,性质1.,提示：,性质2.,引理 当 n 1 时，有下面的三解恒等式其中，aj(n) 为常数。,引理的证明 用数学归纳法证明之。当 n 1 时， 原式成立显然。假设 n m 时，原式成立，当 n m 1 时，,Cos(n)可以展
5、开成cos 的n次乘幂的有穷级数！,用归纳假设，有,最后，由归纳假设原理，知原式对 n 1均成立。,按cos的幂合并同类项。,性质3.,性质4.,这说明： n 为奇数时, Tn(x)为奇函数; n 为偶数时, Tn(x) 为偶函数;,由递推关系, 可有,Chebyshev 多项式 T4, T5 ,T6,T4,T5,T6,第 4, 5, 6 个 Chebyshev 多项式图形,性质5.,其他常用的正交多项式,1 拉盖尔 (Laguerre) 多项式,拉盖尔多项式性质,性质1.,性质2.,性质3.,图形,2 埃尔米特 (Hermite) 多项式,埃尔米特多项式性质,性质1.,性质2.,性质3.,图形,
