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1、离散型随机变量的均值和方差,离散型随机变量的均值和方差,复习引入,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.,复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分,一、离散型随机变量取值的平均值,数学期望,一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：,则称,为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散
2、型随机变量取值的平均水平。,一、离散型随机变量取值的平均值数学期望一般地，若离散型随机变,1、随机变量的分布列是,(1)则E= .,2、随机变量的分布列是,2.4,E=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,1、随机变量的分布列是(1)则E=,归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：,、确定离散型随机变量可能的取值。,、写出分布列，并检查分布列的正确与否。,、求出均值(期望)。,归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤： 、确定离散型随,1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：,从以数据你能否说明谁的射击水平高？,解,表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击
3、中平均得分差别不会很大，,1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布,2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场赌博对你是否有利?,对你不利!劝君莫参加赌博.,2.对你不利!劝君莫参加赌博.,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的数学期望？,解：X的可能取值为0，1，其分布列如下,例题讲解,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已,则E(X) p,若XH(N ，M ， n),则E(X),若XB(n，p),则E(X)np
4、,若XB(1，p),各种不同概率模型下的数学期望,则E(X) p若XH(N ，M ， n)则E(X)若X,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和,则,B(20,0.9),B(20,0.25)，,所以E200.918，,E200.255,由于答对每题得5分
5、，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5和5.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。,解：,(1) XB（3，0.7）,(2),3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知,所以， 的分布列为,1： 则,所以， 的分布列为1：,离散型随机
6、变量的均值的理解(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它描述X取值的平均状态(3)变量YaXb的均值E(aXb)aE(X)b说明随机变量X的线性函数YaXb的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线性函数，此式可有以下几种特殊形式：,离散型随机变量的均值的理解,当b0时，E(aX)aE(X)，此式表明常量与随机变量乘积的均值，等于常量与随机变量均值的乘积当a1时，E(Xb)E(X)b，此式表明随机变量与常量和的均值，等于随机变量的均值与这个常量的和当a0时，E(b)b，此式表明常量的均值等于这个常量.,当b0时
7、，E(aX)aE(X)，此式表明常量与随机变量,2设的分布列为：又设25，则E(),D,2设的分布列为：D,1口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以表示取出球的最大号码，则E值的是()A4B4.5 C4.75 D5,3若随机变量B(n,0.6)，且E3，则P(1)的值是()A20.44 B20.45 C30.44 D30.64,B,A,C,1口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球,4已知B B ，且E()15，则E()等于()A5 B10 C15 D20,B,A,4已知B B,6已知X的概率分布如下，E(X)7.5，则a_.,7,7若随机变量X的分布列是
8、P(xk) 0.1k0.94k，k0,1，2,3,4.则EX_.,8两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数数学期望E_.,0.4,6已知X的概率分布如下，E(X)7.5，则a_,E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0,P(=k)= Cnkpkqn-k,证明：,=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np, 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkp
9、kqn-k Cnnpnq0,( k Cnk =n Cn-1k-1),若B(n，p)，则E= np,E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+,第二课时：随机变量取值的方差和标准差,第二课时：随机变量取值的方差和标准差,如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.,探究,方差定义,一组数据的方差：,在一组数：x1,x2 ,xn 中，各数据的平均数为 ，则这组
10、数据的方差为：,类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.,新课,方差定义一组数据的方差：方差反映了这组数据的波动情况,离散型随机变量取值的方差和标准差:,定义,离散型随机变量取值的方差和标准差:则称为随机变量x的方差.一,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值.,记忆方法: “三个x”,练习一下,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，,练习一下,结论1： 则 ;,结论2：若B(n，p)，则E= np.,可以证明, 对于方差有下面重要性质：,则,结论,练习一下结论1： 则,几个常用公式：,几个常用公式
11、：,1. 已知随机变量x的分布列,求Dx和x.,解：,2. 若随机变量x 满足P（xc）1，其中c为常数，求Ex 和 Dx.,Exc1c,Dx（cc）210,练习,1. 已知随机变量x的分布列求Dx和x. 解：2.,再看一例,例2,试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,如果对手在8环左右,派甲. 如果对手在9环左右,派乙.,思考,再看一例例2 试比较两名射手的射击水平.如果其他,例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别
12、为 ，其分布列为,判断甲乙两人生产水平的高低？,解答,练习,例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为,E=00.3+10.320.230.2=1.3,E=00.1+10.520.4=1.3,D=(01.3)20.3+(11.3)20.3（21.3）20.2（3-1.3)20.2=1.21,结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高.,期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高,E=00.3+10.320.230.2=1.3,例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,解：,在两个单位工资的数
13、学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.,例题,例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：根据工,练习一下,结论1： 则 ;,结论2：若B(n，p)，则E= np.,可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：,则,结论,练习一下结论1： 则,五、几个常用公式：,五、几个常用公式：,例如：已知某离散型随机变量的分布列如下，则a_，数学均值(期望)E_，方差D_.2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么DX_.3一般地：随机变量与随机变量满足关系ab，其中a，b为常数，则D_.,n6p0.4
14、,0.4,1,0.8,p(1p),a2D,4若B(n，p)，则D_.例如：设B(n，p)，且E2.4，D1.44，求n，p.,np(1p),例如：已知某离散型随机变量的分布列如下，则a_,1已知随机变量的分布列为：P(k) ，k1,2,3，则D(35)()A6 B9 C3 D4,2设B(n，p)，且E12，D4，则n与p的值分别为(),A,C,1已知随机变量的分布列为：P(k) ，k1,4设随机变量XB(n，p)，且EX1.6，DX1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45,A,3.已知3 ，且D13，那么D的值为()A39 B117 C39 D1
15、17,解析：DD(3 )9D913117.答案：B,4设随机变量XB(n，p)，且EX1.6，DX1.2,5已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX0，DX1，则a_，b_.,5已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX0，DX1,6.投弹一次命中次数X服从两点分布，而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验，命中次数Y服从二项分布解(1)X的分布列为：,E(X)00.210.80.8.D(X)(00.8)20.2(10.8)20.80.16.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即YB(10,0.8)，E(Y)np100.88，D(Y)100.80.21.6.,6.某人投弹命中目标的概率为
16、p0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差,6.投弹一次命中次数X服从两点分布，而重复10次投弹可以认,7已知某运动员投篮命中率p0.6.(1)求一次投篮时命中次数的期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差,分析：(1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数服从两点分布(2)重复五次投篮的投中次数服从二项分布,解析：(1)投篮一次命中次数的分布列为：,7已知某运动员投篮命中率p0.6.分析：(1)投篮一次可,则E00.410.60.6，D(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次
17、数服从二项分布，即B(5,0.6)由二项分布期望与方差的计算公式，有E50.63，D50.60.41.2.,点评：求离散型随机变量的期望与方差的关键环节有以下两点：(1)写出离散型随机变量的分布列；(2)正确应用期望与方差公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式),则E00.410.60.6，点评：求离散型随机变,课堂小结,一、离散型随机变量的期望和方差,二、性质,三、如果随机变量X服从两点分布，,四、如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p）,课堂小结一、离散型随机变量的期望和方差,1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确
18、答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。,五、巩固应用,1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项,2. 决策问题： 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能 挡住小洪水。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种方案好。,2. 决策问题：,3.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？,3.某商场的促销决策：,
