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1、第十八章,技术,技术,技术是只把投入转换成产出的过程。例如劳动力、计算机、投影仪、电力、和软件等合起来上这堂课。,技术,一般来说集中技术能够生产相同的产品 黑板和粉笔可以代替计算机和投影仪使用。哪项技术是最好的？我们对技术进行比较？,投入束,xi 表示投入品种i的投入量i; 也即投入品种i的投入水平。投入束是投入品投入水平的向量，用 (x1, x2, , xn)表示。例如(x1, x2, x3) = (6, 0, 93).,生产函数,y 表示产出水平。技术生产函数表现了投入束的最大可能产出量。,生产函数,y = f(x) 为生产函数,x,x,投入水平,产出水平,y,y = f(x) 表示投入x
2、的可得到的最大产出量。,一份投入，一份产出,技术集,一个生产计划是一个投入束和一个产出水平。 用向量(x1, , xn, y)来表示。生产计划是可行的，假如他满足下式所有可行生产计划集合就是技术集。,技术集,y = f(x) 为生产函数,x,x,投入水平,产出水平,y,y”,y = f(x) 为投入x可获取的最大产出水平。,一份投入一份产出,y” = f(x) 投入x的可行产出量,技术集,技术集为,技术集,x,x,投入水平,产出水平,y,一份投入一份产出,y”,技术集,技术集,x,x,投入水平,产出水平,y,一份投入一份产出,y”,技术集,技术上无效率的计划,技术上有效率的计划,多种投入品的技
3、术,假如投入品不止一种，那么技术会是什么样子？两种投入品的例子: 投入水平为 x1 和x2. 产出水平为y。假设生产函数为：,多种投入品的技术,例如投入束(x1, x2) = (1, 8)的最大可行产出为：投入束(x1,x2) = (8,8)的最大可行产出量为 ：,多种投入品的技术,Output, y,x1,x2,(8,1),(8,8),多种投入品的技术,产出y的等产量线是指最大产出量为y的所有投入束的集合。,两个投入变量的等产量线,y 8,y 4,x1,x2,两个投入变量的等产量线,等产量线可以通过增加一条产出线，并把能够产生相同产出的投入组合连接起来而得到。,两个投入变量的等产量线,Out
4、put, y,x1,x2,y 8,y 4,两个投入变量的等产量线,更多的等产量线告诉了我们更多的关于技术的信息。,两个投入变量的等产量线,y 8,y 4,x1,x2,y 6,y 2,两个投入变量的等产量线,Output, y,x1,x2,y 8,y 4,y 6,y 2,含有多种投入要素的技术,所有等产量线的集合称为等产量线图。等产量图与生产函数等价 所指代的对象是一致的例如,含有多种投入要素的技术,x1,x2,y,含有多种投入要素的技术,x1,x2,y,含有多种投入要素的技术,x1,x2,y,含有多种投入要素的技术,x1,x2,y,含有多种投入要素的技术,x1,x2,y,含有多种投入要素的技术
5、,x1,x2,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,含有多种投入要素的技术,x1,y,柯布-道格拉斯函数,柯布-道格拉斯函数有如下形式：例如其中,x2,x1,所有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交,柯布-道格拉斯函数,x2,x1,所有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交,柯布-道格拉斯函数,x2,x1,所
6、有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交,柯布-道格拉斯函数,x2,x1,所有的等产量线都是双曲线，无限接近坐标轴，但不相交,柯布-道格拉斯函数,固定比例生产函数,固定比例生产函数有如下形式：例如其中,固定比例生产函数,x2,x1,minx1,2x2 = 14,4,8,14,2,4,7,minx1,2x2 = 8,minx1,2x2 = 4,x1 = 2x2,完全替代函数,完全替代函数有如下的形式：例如其中,完全替代函数,9,3,18,6,24,8,x1,x2,x1 + 3x2 = 18,x1 + 3x2 = 36,x1 + 3x2 = 48,所有的等产量线都是线性的和平行的,边际产品
7、,投入要素i的边际产出为在其它投入要素不变的情况下，产出变化与要素投入变化之比。也即,边际产品,例如假如,要素1的边际产出为：,边际产品,例如假如,要素1的边际产品为：,边际产品,例如假如,要素1的边际产品为：,要素2 的边际产品为：,边际产品,例如假如,要素1的边际产品为：,要素2的边际产品为:,边际产品,一般来说，一种要素的边际产品依赖于其它要素的投入量。例如假如,假如 x2 = 27 那么,假如 x2 = 8,那么,边际产品,边际产品随着投入要素i的投入量的增加而降低。也即假如,边际产品,且,例如假如,那么,边际产品,且,因此,例如假如,那么,边际产品,且,且,例如假如,那么,边际产品,
8、且,因此,两种要素的边际产品都递减,例如假如,那么,规模效益,边际产品测度了单个要素投入量的改变导致的产出变化。规模报酬测度了所有投入要素同等幅度改变时产出的变化。（比如所有要素都加倍或者减半）,规模报酬,假如对于任意投入束 (x1,xn),那么技术通过产出函数f描述了不变的规模报酬。例如(k = 2) 所有要素加倍使得产出也加倍。,规模报酬,y = f(x),x,x,投入水平,产出水平,y,一分投入一份产出,2x,2y,不变规模报酬,规模报酬,假如对于任意的投入束 (x1,xn),那么技术显示了规模报酬递减。例如 (k = 2) 投入要素加倍但是产出并没有加倍。,规模报酬,y = f(x),
9、x,x,投入水平,产出水平,f(x),一分投入一分产出,2x,f(2x),2f(x),规模报酬递减,规模报酬,假如对于任意的投入束 (x1,xn),那么技术显示了规模报酬递增。例如 (k = 2) 投入要素加倍导致产出水平增加超过两倍。,规模报酬,y = f(x),x,x,投入水平,产出水平,f(x),一分投入一份产出,2x,f(2x),2f(x),规模报酬递增,规模报酬,单种技术可以在不同位置显示不同规模效益。,规模报酬,y = f(x),x,投入水平,产出水平,一分投入一份产出,规模报酬递减,规模报酬递增,规模报酬的例子,完全替代生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍。产出变为：,规模报酬的
10、例子,完全替代生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍。产出变为：,规模报酬的例子,完全替代生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍。产出变为：,完全替代生产函数为规模报酬不变函数。,规模报酬的例子,完全互补生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍，产出变为：,规模报酬的例子,完全互补生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍，产出变为：,规模报酬的例子,完全互补生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍，产出变为：,完全互补生产函数为规模报酬不变的生产函数。,规模报酬的例子,柯布-道格拉斯生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍，产出变为：,规模报酬的例子,柯布-道格拉斯生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍，产出变为：
11、,规模报酬的例子,柯布-道格拉斯生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍，产出变为：,规模报酬的例子,柯布-道格拉斯生产函数为：,所有投入要素都扩大k倍，产出变为：,规模报酬的例子,柯布-道格拉斯生产函数为：,柯布-道格拉斯函数的规模报酬是不变的。 假如 a1+ + an = 1,规模报酬的例子,柯布-道格拉斯生产函数为：,柯布-道格拉斯函数的规模报酬是不变的。 假如 a1+ + an = 1递增的 假如 a1+ + an 1,规模报酬的例子,柯布-道格拉斯生产函数为：,柯布-道格拉斯函数的规模报酬是不变的。 假如 a1+ + an = 1递增的 假如 a1+ + an 1递减的 假如 a1+ +
12、 an 1.,规模报酬,Q:是否存在一个生产函数，它的边际产品递减但确实规模报酬递增的？,规模报酬,Q:是否存在一个生产函数，它的边际产品递减但确实规模报酬递增的？A: 存在例如,规模报酬,因此这个生产函数展示了递增的规模报酬。,规模报酬,因此这个生产函数展示了递增的规模报酬。,但是,随着 x1增加而减小,规模报酬,因此这个生产函数展示了递增的规模报酬。,但是,随着x1增加而减小,随着x1增加而减小,规模报酬,因此一个生产函数可以为边际产品递减，但规模报酬递增的函数。为什么？,规模报酬,边际产品是指在其它投入要素不变的情况下，某一要素投入量改变所导致的产出变化与投入变化之比。边际产品递减是因为
13、在其它要素固定不变的情况下，某一投入要素量的增加使得与其共同共产产品的其他要素比例越来越少。,规模报酬,当所有的投入要素都同比例增加，边际产品将不会改变，因为每一投入要素的比例与其他要素保持恒定。投入要素的生产力不会下降，规模效益可能是不变或者递增的。,技术替代率,在不改变产出的情况下，一种要素对于另一种要素的替代率为多少？,技术替代率,x2,x1,y100,技术替代率,x2,x1,y100,斜率表明了在不改变产出的前提下，当投入要素1增加时要素2必须减少的量。等产量线的斜率即为技术替代率。,技术替代率,技术替代率如何计算？,技术替代率,技术替代率如何计算？生产函数为：投入束的微小改变导致产出
14、的改变量为：,技术替代率,但是 dy = 0 因为产出没有改变，因此 dx1和 dx2 必须满足下式：,技术替代率,重新整理得,因此,技术替代率,表示了在保持产出不变的前提下，要素1增加时要素2必须减少的数量。也即等产量线的斜率。,技术替代率; 柯布-道格拉斯的例子,因此,且,技术替代率为：,x2,x1,技术替代率; 柯布-道格拉斯的例子,x2,x1,技术替代率; 柯布-道格拉斯的例子,8,4,x2,x1,技术替代率; 柯布-道格拉斯的例子,6,12,性状良好的生产函数,性状良好的生产函数的特点：单调的凸的,性状良好的生产函数- 单调性,单调性: 任何要素投入量的增加会带来更多的产出。,y,x
15、,y,x,单调的,非单调的,性状良好的生产函数- 凸性,凸性: 假如投入束x 和 x” 都能生产出y单位产出，那么投入束的组合 tx + (1-t)x” 至少能够生产出y单位产出，对于任意0 t 1。,性状良好的生产函数- 凸性,x2,x1,y100,性状良好的生产函数- 凸性,x2,x1,y100,性状良好的生产函数- 凸性,x2,x1,y100,y120,性状良好的生产函数- 凸性,x2,x1,凸性意味着技术替代率随着x1增加而增加。,性状良好的生产函数,x2,x1,y100,y50,y200,更高的产出,长期与短期,从长期来看，厂商的所有投入要素的投入量都可以改变。还有很多短期的情况。从
16、短期来看厂商只有某些投入要素的投入量是可以变的。,长期与短期,厂商面对的短期限制条件：暂时不能安装转移机械设备。被法律要求生产某一确定的产量。需要符合国内的规定。,长期与短期,可以把长期看成是厂商可以在短期内任意改变投入要素的投入量。,长期与短期,短期限制意味着厂商的生产函数有什么特点？假设短期限制为投入要素2的投入量固定。投入要素2因此在短期内成为一个固定投入要素。投入要素1为可变量。,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x2,x1,y,长期与短期,x1,y,长期与短期,x1,y,长期与短期,x1,y,四个短期生产函数,长期与短期,为长期生产函数 (x1 与 x2 都可变)。,当x2 1时的短期生产函数为：,当时x2 10的短期生产函数为：,长期与短期,x1,y,四个短期生产函数,
