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1、,八年级全等三角形辅助线的作法,红安县 马井中学 杨勇,系列微课,八年级全等三角形辅助线的作法,第一讲 截长补短法,红安县 马井中学 杨勇,一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等,分析：要证AB=AC+CD ，此三条线段都不在同一直线上 可以有截长和补短两条思路。,E,思路一：用补短的方法，即延长AC到点E,使得CE=CD,欲证AB=AC+CD AB=AE=AC+CE ABDAED(有一个角等，还有一个公共边等) 就差一个角，即B=E. 又因为CD=C
2、E,则ACB=2E,而又已知ACB=2B,则B=E，即证ABDAED（AAS）,E,证法1：延长AC到点E使得CE=CD,则E=CDE ACB=2E,又 ACB=2B B=E ,又AD平分BAC, 1=2 在ABD和AED中 B=E （已证） 1=2 （已知） AD=AD（公共边）ABDAED （AAS）AB=AE （全等三角形对应边相等）又AE=AC+CE,CE=CDAB=AE=AC+CD,即AB=AC+CD,F,F,证法2：在AB上截取AF=AC 由SAS易证AFDACD 则CD=FD, C=AFD,又ACB=2B则AFD=2B又AFD=B+ BDFBDF= BFD=FBAC=AF,FD=
3、FB,FD=CD,AB=AF+FB=AC+CD, 即AB=AC+CD,练习1如图1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB求证：AC=AE+CD,分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上故在AC上截取AF=AE， 则只要证明CF=CD,练习1如图1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB求证：AC=AE+CD,证明：在AC上截取AF=AE，连接OF AD、CE分别平分BAC、ACB，ABC=60 BAC+ACB+B=180 （三角形内角和定理） 则 1+2=60（角平分线性质）， 4=6=1+2=60（三角形外角性质） 显然，AEOAFO（S
4、AS）， 5=4=60(全等三角形性质)， 7=180（4+5）=60（平角性质） 在DOC与FOC中， 6=7=60（已证）， 2=3(已证)， OC=OC（公共边） DOCFOC（ASA）， CF=CD（全等三角形性质） AC=AF+CF=AE+CD（等量代换）,注意：截长补短不仅适用于线段之间，也适用于角之间。一般地，当所证结论为角的和、差关系，且这两个角不在同一个顶点处时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在大角上截取一部分使之与一个小角相等；或将小角扩大使其与大角相等,例2 已知：四边形ABCD中，BCAB,AD=DC,BD平分 求证： BAD+ BCD=180,例2 已知：四边形AB
5、CD中，BCAB,AD=DC,BD平分 求证： BAD+ BCD=180,练习2 已知：1=2，P为BN上一点，且PD于点 ,+=2. 求证：,分析：BAP 延长BA到点E构造BAP的邻补角EAP，使得EAP=BCP 作角平分线上的垂线PE BE,从而构造全等三角形，使得PEAPDC,此题不像上题直接给出了线段相等而是给出了一个线段的和的形式，所以关键是要应用等式的性质得出线段相等从而得到三角形全等,？,？,练习2 已知：1=2，P为BN上一点，且PD于点 ,+=2. 求证：,谢谢观赏,第一讲 截长补短法,红安县 马井中学 杨勇,八年级全等三角形辅助线的作法,第二讲 中线倍长法,红安县 马井中
6、学 杨勇,二、中线倍长 三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路,例3已知ABC中，AD是其BC边上的中线。 (1)求证：|AB-AC|2ADAB+AC (2)已知三角形的两边长分别为7和5，求第三边上 的中线的取值范围.,分析：从此不等式可以看出非常像三角形的三边关系，因此我们需要构造一个以 AB、AC及2AD为边的三角形，所以我们就要加倍延长中线AD到点E使得 AE=2AD,连接BE，若证得BE=AC,则问题得证。第（2）问则根据第一问的 关系可以直接写出AD的范围。,（1）证明：如图所示，延长AD至E，使DE = AD AD是BC边上的中线，
7、BD=CD 又ADC=EDB（对顶角相等） ADCEDB（SAS） BE=AC (全等三角形性质) 在ABE中|AB-AC|AEAB+AC（三角形三边关系性质定理） 即|AB-AC|2ADAB+AC (2)解：由（1）知 7-52AD7+5 1AD6,例3已知ABC中，AD是其BC边上的中线。 (1)求证：|AB-AC|2ADAB+AC (2)已知三角形的两边长分别为7和5，求第三边上 的中线的取值范围.,练习3.已知:如图ABC中，CD=AB, BAD=BDA,AE是其BD边上的中线。 求证：AC=2AE,例4已知：如图点E 是BC 的中点，BAE=CDE. 求证：AB=CD,DE后，,证明
8、：如图所示，延长DE至F，使DE = EF 则易证DECFEB(SAS) DC=BF, D=F (全等三角形性质) 又D=BAE BAE =F AB=BF 又 DC=BF AB=CD,例4已知：如图点E 是BC 的中点，BAE=CDE. 求证：AB=CD,练习已知：如图中，AD平分BAC,G是BC的中点， EG交延长线于点E. 求证：BF=EC,分析： 欲证BF=EC 题中出现了中点和EC,所以我们想到要倍长ECB的中线EG到点H ,使得EG=GH 即证BF=BH H=BFH.又由于BFH=EFA, H=FEA,即证EFA=E,根据EG AD可以得到EFA=BAD, E=DAC,即证BAD=DAC,显然根据AD平分BAC得证BAD=DAC.,小结：在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，证明全等时常见的两种辅助线1.截长补短：当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法；当所证结论为角的和、差关系，且这两个角不在同一个顶点处时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在大角上截取一部分使之与一个小角相等；或将小角扩大使其与大角相等2.倍长中线：三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路；,谢谢观赏,第二讲 中线倍长法,红安县 马井中学 杨勇,
