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1、三 重 积 分,第二节,一、三重积分的概念,三重积分的性质与二重积分的类似。,特别地，,z2(x,y),I =,P,N,M,.,.,D,z1(x,y),二、直角坐标系下三重积分的累次积分法,1.先一后二法,z2(x,y),I =,D,这就化为一个定积分和一个二重积分的运算,z1(x,y),.,二、直角坐标系下三重积分的累次积分法,1.先一后二法,三重积分化为三次积分的过程：,得到,注意,得到,解,于是，,得到,解,于是，,解,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,.,例,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,6,6,6,x+
2、y+z=6,3x+y=6,2,.,例,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,.,6,6,6,4,2,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,4,2,x+y+z=6,.,6,6,6,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z
3、 = 6所围成的区域,4,2,.,6,6,6,：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域,例.,.,D,6,2,4,D,.,1,4,x+ y = 4,.,例,1,4,x+ y = 4,1,.,取第一卦限部分,4,x+ y = 4,.,D,.,.,o,1,1,x+ y=1,1,z=xy,.例,例.,1,x+ y=1,1,z=xy,.,例,1,1,x+ y=1,。,。,z=xy,.,例,c1,c2,z,Dz,先做二重积分，后做定积分,2.截面法（先二后一法）,c1,c2,.,先做二重积分，后做定积分,2.截面法（先二后一法）,c1,c2,I
4、=,.,先做二重积分，后做定积分,2.截面法（先二后一法）,c1,c2,.,先做二重积分，后做定积分,I =,2.截面法（先二后一法）,(1) 把积分区域向某轴（例如轴Z）投影，得投影区间 c1,c2,(2) 对用过轴且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz;,截面法的一般步骤：,b,c,例 计算,a,D0,Dz,.,.,b,c,.,.,D0,a,.,z,M(r, z),z,r,N,x,y,z,(x, y, z),(r, , z),三、柱面坐标下三重积分的计算,.,.,1、柱面坐标,简单地说，柱面坐标就是,xoy 面上的极坐标 + z 坐标,柱面坐标与直角坐标的关系为,z,动点M(r, , z)
5、,柱面S,r =常数：,平面,z =常数：,M,r,S,z,2. 柱面坐标的坐标面,动点M(r, , z),半平面P,柱面S, =常数:,r =常数：,平面,z =常数：,z,M,r,S,P,.,2. 柱面坐标的坐标面,半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的圆柱面； 平面 z及 z+dz；,dr,r,rd,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,dr,r,rd,d,z,底面积 ：r drd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz；,dz,.,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,dr,r
6、,rd,d,z,底面积 ：r drd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz；,dz,dV =,.,.,dV,3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,再根据 V 中 z，r， 的关系，化为三次积分。,一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。,例 利用柱面坐标计算三重积分,其中V,解,(1) 画 V 图,(2) 确定 z，r， 的上下限,将 V 向 xoy 面投影，得,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得,即,过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得,于是，,解,求交线：,将 向 xoy 面投影，得,或,即,
7、过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得,或,例 计算三重积分,其中 是由曲,解,将 向 xoy 面投影，得,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得,即,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴的直线，得,即,1,.,Dxy:,z = 0,.,Dxy,例. 计算,I =,1,M(r,),r,N,y,x,z,.,.,四、球面坐标系下三重积分的计算,规定：,1、球面坐标,S,r,M,r =常数:, =常数:,球面S,动点M(r,),2、球面坐标的坐标面,C,r =常数:, =常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P, =常数:,锥面C,.,2、球面坐标的坐标面,半平面 及+
8、d ； 半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+d r,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,.,r 2,sin drdd,sin drdd,r 2,dV,dV =,3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式,再根据再 中 r， ， 的关系，化为三次积分。,一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积分。,例 用球面坐标计算,其中,解,画 图。,确定 r， ， 的上下限。,(1) 将 向 xoy 面投影，得,射线，得,即,a,r=2a cos,.,M,.,r,例.,化为球系下的方程,例 计算,其中 由曲面,和,围成。,将 向 xoy 面投影，得,在半平面上，任取一,过原点作射线，得,解,轴作半平面，得,即,六、三重积分的对称性算法,判别关于坐标面的对称性：,
