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1、计算流体力学电子教案,西南交通大学应用力学与工程系结构分析教研室 喻勇 2010-4-24,（第一版,2004级专用）,目录,第一章 绪论第二章 扩散问题的有限体积法第三章 对流扩散问题的有限体积法第四章 差分格式问题第五章 压力-速度耦合问题的有限体积法第六章 有限体积法离散方程的解法第七章 非稳态流动问题的有限体积法第八章 边界条件处理,第五章 压力-速度耦合问题的有限体积法,本章内容1 压力-速度耦合问题的计算难点交错网格技术SIMPLE算法SIMPLE算法的改进,5-1 压力-速度耦合问题的计算难点,对流扩散问题的微分方程中没有直接考虑压力梯度项（可以认为压力项归入了源项中），而压力梯
2、度是引起流体流动的最直接的动力，压力场在流场分析中是需要求解的，而它与速度场是相互耦合、相互影响的,一、压力-速度耦合问题方程,不可压缩流体N-S方程,2维问题X方向：,X方向通用形式：,-见P1 (1-2)式,展开得：,对于稳态问题，忽略时间项：,同理得y方向N-S方程：,2维稳态流动的连续性方程：,以上三式相互耦合，相互影响：速度场要满足连续性方程和N-S方程，压力场要满足N-S方程，同时压力场又会影响速度分布。,二、计算难点,难点1：同位网格有可能不能识别棋盘形压力场,对于一维问题，在均匀网格中用中心差分格式求压强梯度项：,上式不能识别图5-1的锯齿关压强分布，因为由上式结果得压强梯度处
3、处为0.,同位网格：控制体中的u、v、p均存放于同一套网格的节点上。,对于二维问题，有：,上式不能识别图5-2的压强分布，因为由上式结果得压强梯度处处为0.,难点2：压力场难以求解,在二维问题中，对于N-S方程采用分离式求解法：在u、v、p中，求其中一个变量时认为另两个为已知，经过一次计算不能得到正确结果，需要迭代求解。此时会遇到的一个问题是：压力本身没有控制方程，它是以源项形式出现在动量方程中。压力与速度的关系隐含在连续性方程中，如果压力场是正确的，则据此压力场而解得的速度场必然满足连续性方程。因此，这就要求分离式求解时能从速度场的计算结果得到改进压力场的计算式，但这一改进式无法直接得到。,
4、三、解决办法,难点2：压力场难以求解-SIMPLE算法,难点1：同位网格有可能不能识别棋盘形压力场-采用交错网格,SIMPLE算法Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation压力耦合方程的半隐计算格式,5-2 交错网格技术,一、交错网格布置方式,交错网格：以二维问题为例，将速度u、v及压力p（包括其它所有标量场及物性参数）分别存储于三套不同网格上的网格系统。以压力控制体为主控制体（称P控制体），速度u存于P控制体的东、西界上速度v存放于P控制体的南、北界面上。u、v各自的控制体是以速度所在位置为中心的，与P控制体在x或y方向相差半个网格步，
5、分向前错位和向后错位。,P控制体 ue控制体 vn控制体,采用交错网格后，关于u、v、p的离散方程是通过对u、v、p控制体积分得到。例如，x方向N-S方程在uw控制体积分。,x方向N-S方程,即：,在uw控制体上积分得（见uw控制体）：,上式中：,将此式移抄至下页,同理得：,以上两式可以处理图5-1和5-2所示的压力分布。为什么？,（5-6）,（5-7）,交错网格系统的3套网格及编号系统，使得编号及编程都比较复杂标量存于大写节点，矢量存放于小写节点。i系列编号表示u控制体的节点，j系列编号表示v控制体节点，大写的I 或J表示主控制体在x、y方向的节点。,u控制体 i,J,v控制体 I ,j,控
6、制体 I ,J,注意编号中大小写的组合,二、方程的离散包括x方向、y方向动量方程的离散以及连续性方程的离散。动量方程的离散与24章相同，只是多了一项压力梯度项，压力梯度项的离散见（5-6）式和（5-7）式,（5-6）,（5-7）,1. x方向动量方程的离散,前2章通用离散方程：,本章以速度代替通用变量，并考虑压强：,或：,该式中的系数ai,j及anb由任意一种差分格式得到，如上风差分、混合差分、乘方格式或QUICK格式等。而系数ai,j及anb是F与D的组合，现讨论F、D的表达式。,u控制体 i,J(注意该图与图5-3水平错动了半格),对于均匀网格u控制体 i,J的对流量F（沿流动方向线性插值
7、）：,以上四式中：,其余类似。代入四式得：,注意：u、v的下标区别;式中的u、v为上一迭代步结果，视为已知。,对于均匀网格u控制体 i,J的扩散量D ：,y方向动量方程的离散同此，即：,上式系数中包含F和D，各节点的F、D表达式为：,2.y方向动量方程的离散,3.连续性方程的离散在主控制体中离散，方法同前。,2维稳态流动的连续性方程：,即：,上式在主控制体上积分并利用高斯公式得离散方程：,课本中误为“-”号,总结交错网格条件下，二维压力速度耦合问题的有限体积法的离散方程组为,以上三式分别对应三套网格中的控制体如果压力场能满足（5-8）和（5-10）式，且由这两式解出的速度场满足（5-12）式，
8、且该压力场和速度场为正确解。,难点2：压力场难以求解-SIMPLE算法,难点1：同位网格有可能不能识别棋盘形压力场-采用交错网格,备忘：压力速度耦合问题的难点,5-3 SIMPLE算法,一、基本SIMPLE算法,该算法基本思想：是一种压力预测-修正方法，通过不断修正计算结果，反复迭代，最后求出p、u、v的收敛解。,基本思路（以二维问题为例说明）：,1. 假设一个压力分布p*，用它求解动量方程式，得到初始速度分布u*、v*，即：,一般，由于压力场不是真实的，由此得到的速度场也不能满足连续性方程，因此需对速度场和压力场进行修正。分别设它们相应的修正量是u 、v 、p ，修正后的速度场和压力场为：,
9、u=u*+uv=v*+vp=p*+p,为了求得修正量，设正确的压力场为p，由(5-8)和（5-10）式（x、y向离散的动量方程，可得到正确的速度场u、v。,（5-8）式减（5-14）式得,即：,同理得：,由上可见，速度修正u 、v由两项构成。从物理意义上讲，第一项为周围节点速度引起的修正量，第二项是同一方向相邻节点压力差引起的修正量。SIMPLE算法认为p是引起速度改变的主要因素，因此作简化处理，只保留第二项，忽略第一项。于是有：,此两式为速度修正量，由此得速度的改进值为,-主控制体w界面x向速度,-主控制体s界面y向速度,同理得n界面y向、e界面x向速度：,-ex,-ny,以上速度还应满足连
10、续性方程（5-12）。将以上四个速度表达式代入（5-12），并整理得到压力修正方程：,注：,压力修正方程,式中：,注：连续性方程,比较b的表达式与连续性方程，可知b应为0,因此b可作为收敛判据。,二、关于SIMPLE算法的两点说明,1.在推导如下速度场修正量方程时，忽略了方程等号右边的第一项。这样做并不影响最后的计算结果。因为压力修正量p和速度修正量u 、v在迭代最后得到收敛解时都将归于零。即最后结果是p=p*,u=u*,v=v*.,SIMPLE算法忽略此项；SIMPLEC算法不忽略此项。,2.亚松弛迭代若迭代过程中压力的修正量过大，会使压力修正方程的求解出现发散现象。为避免这种现象，采用亚松
11、弛迭代，即：,下一步压力值,当前压力值,压力松弛因子,压力修正量,式中：,计算中希望该因子尽可能大，以加快收敛，但又不能引,起计算过程的不稳定（发散）。因子为1时，压力修正量最大。,通常速度也要采用亚松弛迭代：,离散后的N-S方程（以x方向为例）为：,由（5-34）解出的u = 由（5-8）解出的u,故有:,未经亚松驰处理的速度,即：,对于y方向，同理可得：,由于速度采用亚松弛迭代，压力修正方程(5-32)中的d分量变成：,注：d的定义,SIMPLER基础思路：用假设的或前次迭代得到的速度场，求出的压力场，作为假设的压力场，而压力修正方程得出的p用于修正速度，压力由连续性方程导出的压力方程求解
12、。与SIMPLE算法不同，SIMPLER算法没有忽略离散N-S方程中的任一影响项，因此更容易收敛，虽然其单次迭代的工作量较SIMPLE算法多30%。,5-4 SIMPLE算法的改进,一、SIMPLER算法（SIMPLE Revised）,离散的N-S方程为：,SIMPLER算法的推导,由（5-8）得：,同理得：,将以上四个速度表达式代入连续性方程（5-12），,整理得到压力计算方程:,该式与SIMPLE算法的（5-32）式仅源项b不一样，此处采用了伪速度。,其中：,重写上式，得：,二、SIMPLEC算法（SIMPLE Consistent）速度修正量,SIMPLE算法忽略此项；SIMPLEC算
13、法不忽略此项。,上式两端同时减去,得：,此二者处于同一数量级，故由它们构成的等式右边第一项可以忽略。,即：,同理：,SIMPLEC算法与SIMPLE算法相同，只在速度修正量u 、v计算式中d项不同，但收敛性更好。,三、PISO算法,PISOPressure Implicit with Splitting of Operators基于算子分裂的压力隐式算法（Issa，1986）.该法最初用于求解非定常压力速度耦合可压缩流动问题的非迭代算法，后来被成功用于迭代求解稳态问题。PISO算法包括一个预测步骤和两个校正步骤，可以看作在SIMPLE算法的基础上加了一个校正步，可看作是SIMPLE算法的推广。
14、,1.预测步骤,2.第一步校正,同SIMPLE算法，先假设一个压力分布p*，然后由离散N-S方程（5-8）和（5-10）求出近似的速度分布u*、v*。该速度分布显然不满足连续性方程。,注：,仍同SIMPLE算法，求解压力修正方程（5-32）(第一压力修正方程)，得到压力修正量p ，进而计算出速度修正量u 、v ，则压力和速度的改进值为：,=,同SIMPLE算法,同（5-25）、（5-26）,3.第二步校正,u*、v*p*,u*v*,离散的N-S方程,u*v*,离散的N-S方程,p*,压力修正方程,两式相减：,同理：,P为第二次压力修正量，故：,将速度的第二次改进值u*、v*代入离散形式的连续性方程，得第二压力修正方程：,其中：,PISO算法特点：单次迭代的计算工作量大，但算法高效收敛。,本章结束,
