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1、选修4-5,1.1.1 不等式的基本性质,观察以下四个不等式：,同向不等式: 在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同).,不等号的方向之间有什么关系？,a+2 a+1 -(1)a+3 3a -(2),3x+1 2x+6 -(3)X a -(4),与、与同向，与反向。,异向不等式： 在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个的左边小于右边(不等号的方向相反).,基本概念,同解不等式:,形式不同但解相同的不等式.,绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.,其它重要概念:,基本概念,1.实数在数轴上的性质:,数轴上的点,一一对应,p,2,基本理论
2、,研究不等式的出发点是实数的大小关系。,数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：,a,b,a b,x,a,b,a b,x,用数学式子表示为:,设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B ，,关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a b，那么a-b是正数；如果a=b，那么a-b等于零；如果a b，那么a-b是负数；反过来也对.,基本理论,那么，当点A在点B的左边时，a b.,表示“等价于”,上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质不仅可以用来比较两个
3、实数的大小，而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.,基本理论,要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比较它们的差a - b 与0的大小. 在这里，0为实数比较大小提供了“标杆”.,思考：,从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？,基本方法,例1 比较,解 ：,0,作差,变 形,断号,作结,：,作差比较大小分四步进行,常见的变形手段是: 通分、因式分解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.,与,作差,断号,作结,变形,课堂训练,等式有“等式两边加或减同一个数，等式仍然成立”， “等式两边乘或除以同一个数，等式仍然成立”等性质，类比等式的基本
4、性质，不等式有哪些基本性质呢？,等式的基本性质是从数的运算的角度提出的。同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加，减，乘，除，乘方，开方等）来思考不等式的基本性质非常自然的。,研究实数的关系时联系实数的运算，是一种基本的数学思想,尝试探索，建立新知,由两个实数大小关系的基本事实，得出不等式的基本性质:,对称性,传递性,加法法则,乘法法则,乘方法则,开方法则,基本性质,注意：,1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”；2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明；2.要会用自然语言描述上述基本性质；3.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问题的理论基础.,(同向不等式相
5、加),例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：,(同向正数不等式相乘),(移项法则),（同号两数，大的倒数较小，小的倒数较大。）,（）,由可得,性质4,性质4,性质2,性质6,实数的大小与它们的差的关系,还有其他方法吗？,性质4,1实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 在数轴上，右边的数总比左边的数 (2)如果ab0，则 ；如果ab0，则 ；如果ab0，则 . (3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 ,大小,大,ab,ab,ab,差a,b的符号,差的符
6、号,课堂互动讲练,2不等式的基本性质 由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质： (1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即 . (2)如果ab，bc，那么 .即ab，bc . (3)如果ab，那么ac . (4)如果ab，c0，那么ac bc；如果ab，c0，那么ac bc.,a,bba,ac,ac,bc,课堂互动讲练,3对上述不等式的理解 使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如： (1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：c0时得 不等式；c0时得 ；c0时得 不等式,同向,等式,异向,课堂互动讲练,相减,正值,相除,正值,课堂互动讲练,课堂互动讲练,2.比较两个实数大小的主要方法:,(1)作差比较法：作差变形定号下结论；,课堂小结与作业,3.不等式的基本性质. （6条）,课外作业：1.p9第一题（写在书上)2.记忆并默写不等式的基本性质。 2.P9第二题（写在本上）,本次课到此结束！ 谢谢！,
