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1、,比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：,在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。,3.2.3单位脉冲响应 R(s)=1,它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以g(t)标志。,求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。,线性定常系统的重要性质,2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分
2、时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。,1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。,各函数间关系：,3.5线性系统的稳定性分析 稳定性是对系统的基本要求，探讨系统的稳定条件，提出保证系统稳定的措施。,3.5.1稳定的概念和定义,如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。对于稳定的线性
3、系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。,线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。 3.5.2线性系统的稳定条件 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。 根据定义输入扰动(t)，设扰动响应为Cn(t)。如果当 t时， Cn(t)收敛到原来的平衡点，即有,那么，线性系统是稳定的。 不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为,线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均
4、位于s左半平面（不包括虚轴）。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。,表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作 用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。,a0 a2 a4 a1 a3 a5 b1 b2 b3 an,snsn1 sn2 s1 s0,劳斯表的构造：,2.劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性 例3-3 设有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，试用劳斯判据判别该特征方程
5、的正实部根的数目。 解：劳斯表,第一列元素 符号改变了2次，系统不稳定，且s 右半平面有2个根。,s4s3s2s1s0,1 3 52 4,6,1,5,5,例3-4 系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为,第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：,s3s2s1s0,1 3 0 2,用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。,0+时，b1 0，劳斯表中第一列元素符号改
6、变了两次系统有两个正根，不稳定。,用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0,s3s2s1s0,1 3 0() 2,2,s4s3s2s1s0,1 3 6 3 7 2/3 6 20 6,会得到相同的判断结果,例3-5 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下,第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：,s4s3s2
7、s1s0,1 3 2 1 1 2 2 0 0,由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根： s1=1 和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和 s4= 2 。,用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。,s4s3s2s1s0,1 3 2 1 1 2 2,4 2,F(s) = 2s2+ 2 F(s)= 4s,（2）分析参数变化对稳定性的影响 例3-6 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。,解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2
8、s + K = 0,要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0 K 6,s3s2s1s0,1 2 3 K(6 K)/3 K,（3）确定系统的相对稳定性,例3-7 检验多项式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1的右边？,解：1),劳斯表中第一列元素均为正系统在s 右半平面没有根，系统是稳定的。,2) 令 s1 = s 1 坐标平移， 得新特征方程为 2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0,s3s2s1s0,2 13 10 412.2 4,劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1 右半平面有一
9、个根。因此，系统在垂直线 s = 1的右边有一个根。,s13s12s11s10,2 1 4 10.5 1,4.稳态误差ess定义：,例3-8设单位反馈控制系统的开环传函为：,当 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3解法一：,试求当输入信号分别为r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 时，控制系统的稳态误差。 解：,终值定理的条件： sX(s)除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。,解法二：,e(t) = T(tT) + T2 e t/T,(2)当 r(t) = 1(t) R(s) =1/s,(3)当 r(t) = t R(
10、s) =1/s2,(4)当r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2),终值定理的条件不成立！,终值定理的条件： 除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,不失一般性，闭环系统的开环传递函数可写为：, = 0 称为 0 型系统； = 1 称为型系统； = 2 称为型系统。等等,在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：,1.阶跃输入作用下的稳态误差,令,称为系统的静态位置误差系数,0 型系统： Kp = K ess = A/ (1+ K)型及型以上系统： Kp = ess = 0,2.单位斜坡输入作用下的稳态误差,令,静态速度误差系数,0 型系统：
11、Kv = 0 ess = ，0型系统无法跟踪斜坡输入 型系统：Kv = K ess = B/ K， 有差跟踪型及型以上系统： Kv = ess = 0， 无差跟踪,3.加速度输入作用下的稳态误差,令,静态加速度误差系数,0 型系统： Ka = 0 ess = 型系统： Ka = 0 ess = 型系统： Ka = K ess = C/ K 型及型以上系统：Ka = ess = 0,阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差,r(t)=Ct2/2,r(t)=B t,r(t)=A1(t),静态误差系数,系统型别,ess=C/Ka,ess=B/Kv,ess=A/(1+ Kp ),Kp Kv Ka,A/(
12、1+ K ),K 0 0,0,C/K,0,0, K,2,B/K,0, K 0,1,例3-9 已知两个系统如图所示，当参考输入 r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，试分别求出两个系统的稳态误差。,解：图（a），型系统 Kp = ， Kv =10/4 ，Ka = 0,图（b），型系统Kp = ， Kv = ，Ka = 10/4,3.6.3 扰动作用下的稳态误差 所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。 计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。 例3-10 控制系统如图,H(s) =
13、1，G1(s)=K1，G2(s)=K2 / s(Ts+1) 试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。,解：（1）单位阶跃给定作用下的稳态误差:系统是型系统： Kp = ess = 0 （2）单位阶跃扰动作用下的稳态误差。系统误差的拉氏变换为,系统结构稳定，且满足终值定理的使用条件。扰动单独作用时稳态误差为,（3）根据线性系统的叠加原理，系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为,3.6.4 提高系统控制精度的措施,上面的分析和例题可知： 通过调整系统的结构和参数，可以提高系统精度，比如：增加积分环节的个数或增大开环放大倍数；但积分环节个数一般不能超过2个，K也不能任意扩大，否则会造成动态品质变差，甚至造成系统不稳定。 解决的办法是引入与给定或扰动作用有关的附加控制作用，构成复合控制系统。,例3-8 控制系统结构图如图所示。图中 试确定补偿通道的传递函数，使系统在单位斜坡给定作用下无稳态误差。,解：系统误差的拉氏变换为(根据梅逊公式),谢谢,
