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1、应 用 高 等 数 学,21世纪高等教育规划教材浙江省重点建设教材应用高等数学,第二章 导数与微分,应 用 高 等 数 学,在日常生活中，我们有时会参加商品展销会，假如张华参加了某次展销会，门票为20元。如果张华不买任何东西，他参加此次展销会的成本为20元，又假如张华在展销会上看中一件商品，该商品的定价是：1件100元；2件160元；3件200元；4件以上每件60元。请问，张华应如何确定购买量？,任务（Assignment）,任 务,展销会上的购物问题,设有一电阻负载R=25，现负载功率功率P从400W变到401W，求负载两端电压u的改变量的近似值。,任务（Assignment）,任 务,电压
2、改变量,2-1 导数的概念,2-2 导数的运算,2-3 微分,第二章 导数与微分,目 录,一、实例,二、导数的概念,三、可导与连续的关系,2-1 导数的概念,主要内容,一、 实例,1. 变速直线运动的速度,2.1 导数的概念,平均速度的极限为,一、 实例,2.1 导数的概念,一、 实例,2.1 导数的概念,(2)当h趋于0时，平均速度趋于极限值64英尺/秒。(就是岩石在时刻t=2的瞬时速度)即：,(1),一、 实例,2.曲线的切线斜率,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线,一、 实例,2.曲线的切线斜率,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线,一、 实例,2.曲线的切线斜率,2.1 导数的概
3、念,割线的极限位置切线,一、 实例,2.曲线的切线斜率,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线,一、 实例,2.曲线的切线斜率,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线,一、 实例,2.曲线的切线斜率,2.1 导数的概念,割线的极限位置切线,一、 实例,2.1 导数的概念,一、 实例,2.1 导数的概念,(1),(2)当x 趋于0时，割线的斜率趋于极限值3，就是M(1,1)处的切线斜率3。即：,一、 实例,2.1 导数的概念,3. 非恒定电流在t0时刻的电流,恒定电流的电流强度,在t0, t0+t内的平均电流强度,t0时刻的电流强度,一、 实例,2.1 导数的概念,变化率数学模型,以上例子如果不
4、考察问题的实际内容，从数学结构来看，都具有完全相同的数学模型,平均变化率 某点的变化率,定义21,设函数 在 内有定义，当自变量 在 处有改变量 时，函数 相应地有改变量 。当 时，若 的极限存在，则称此极限为函数 在 处的导数，记为,，或 ，或 ，或,二、导数的概念,2.1 导数的概念,1. 导数的定义,二、导数的概念,2.1 导数的概念,即为,并称函数 在点 处可导；如果 不存在，则称函数 在点 处不可导。,1. 导数的定义,定义21,二、导数的概念,2.1 导数的概念,重要结论: 存在的充要条件是左右导数 与 存在且相等。,2. 左右导数的定义,二、导数的概念,2.1 导数的概念,3.
5、导(函)数,，或 ，或 ，或,如果函数 在区间 内每一点都可导，则称函数 在区间 内可导。此时对区间 内每一点x，都有函数 的一个导数值与之对应，这就定义了一个新的函数，我们称为函数 在区间 内对x的导函数，简称导数，记作,二、导数的概念,2.1 导数的概念,4. 求导数的步骤,二、导数的概念,2.1 导数的概念,答案:0,答案:2x,二、导数的概念,2.1 导数的概念,5.导数的几何意义,导数的几何意义：函数 在点 处的导数 等于函数所表示的曲线L在相应点 处的切线斜率。即,二、导数的概念,2.1 导数的概念,定理21,如果函数 在点 处可导，则它在点 处一定连续。,三、可导与连续的关系,反之，不一定成立。,2.1 导数的概念,三、可导与连续的关系,2.1 导数的概念,函数在某一点可导、连续、有极限的关系可表示为：,反之不成立。,2.1 导数的概念,导数定义式求解一类极限问题,2.1 导数的概念,导数定义式求解一类极限问题,作业,
