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1、2.1 曲线与方程,2.1.1 曲线与方程,第一课时,复习回顾:,我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为_2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是_3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_.,复习回顾:,x-y=0,我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为_2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是_3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_.,点的横坐标与纵坐标相等,x=y（或x- y=0）,第一、三象限角平分线,含有关系：,（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上,曲线,条件,方程,坐
2、标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0,思考?,圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:,思考?,（1）圆C上的点的坐标都是方程 的解;,（2）方程 的解为坐标的点都在圆C上。,(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.,定义:,1.曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:,说明:,2.“曲线上的点的坐标
3、都是这个方程 的解”,3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,由曲线的方程的定义可知:,如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线C 上的 充要条件 是,f(x0, y0)=0,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.,例1 :判断下列命题是否正确,解:(1)不正确，应为x=3,(2)不正确，应为y=1.(3)正确.(4)不正确,应为x=0(-3y0).,(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离
4、之积等于1的点的轨迹方程为xy=1 (4) ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0,例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.,例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.,第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；,归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.,2.1.2求曲线的方程（1）,第二课时,2.1 曲线与方程,练习1:下列各题中，下图各
5、曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0;,(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ =0;,(3)曲线C是, 象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 。,练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0;,(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ =0;,(3)曲线C是, 象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 。,不是,不是,是,练习2:下述方程表
6、示的图形分别是下图中的哪一个？,练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？,练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( )A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部,练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( )A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲
7、线是曲线C的一部分或是曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部,D,练习4:设圆M的方程为 ,直线l的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ),A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上,练习5:已知方程 的曲线经过点 ,则 m =_, n =_.,C,练习4:设圆M的方程为 ,直线l的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ),A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上,练习5:
8、已知方程 的曲线经过点 ,则 m =_, n =_.,1.“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“方程f（x，y）=0是曲线C的方程”的（ ）条件A，充分非必要 B，必要非充分C，充要 D，既非充分也非必要2.ABC的顶点坐标分别是A（-4，-3），B（2，-1），C（5,7），则AB边上的中线的方程为 。,1.“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“方程f（x，y）=0是曲线C的方程”的（ ）条件A，充分非必要 B，必要非充分C，充要 D，既非充分也非必要2.ABC的顶点坐标分别是A（-4，-3），B（2，-1），C（5,7），则AB边上的中线的方程为 。,C,练
9、习：(1) 设A(2,0)、B(0,2)， 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_,上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.,“数形结合” 数学思想的基础,例1.设A、B两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.,.由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：,将上式两边平方，整理得： x+
10、2y7=0,解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合：,例1.设A、B两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.,例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.,例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.,取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：,因为曲线在x轴的上
11、方，所以y0, 所以曲线的方程是,设点M(x,y)是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是B，,2.1.2 求曲线的方程（2）,第三课时,2.1 曲线与方程,解:,练习1.,B,3.,这就是所求的轨迹方程.,B,3.,这就是所求的轨迹方程.,4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_,4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_,解:设动点为(x，y)，则由题设得,化简得:,y2=4(x-1),这就是所求的轨迹方程.,5. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.,设A(x，y)，又D(0，0)，所以,化简得 :x2+y2=9 (y0),这就是所求的轨迹方程.,解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系.,例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求ABC的重心的轨迹方程.,B,D,A,C,B,
