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1、变化率问题,监利一中 冯敏,3. 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： 已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等, 求曲线的切线; 求函数的最大值与最小值; 求长度、面积、体积和重心等。,4. 导数（定积分）是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。,5. 导数是对变化率的一种度量。,1. 随着对函数的深入研究便产生了微积分。对于微积分来说，它是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.,2. 微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.,现有荆州市去年3月18日到4月20日每天
2、最高气温变化图,温差15.1,温差14.8,问题情境1 实例分析 初探概念,t(d),10,20,30,C (34, 33.4),T (),气温陡增！, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位 : m) 与起跳后的时间 t (单位: s ) 存在函数关系:,问题情境2 高台跳水(实例分析 初探概念）,思考: 我们可以用什么物理量来描述运动员在某段 时间内相对于水面的高度h 的变化情况?,h(t) = 4.9 t2+ 6.5t +10,10,实践操作,计 算,思考2：运动员从t1到t2时间段里的平均速度的如何计算？,思考1：运动员在那段时间里运动的较快呢？,h(t)=-4.9t2
3、+6.5t+10,平均速度刻画了物体在某时间段里位移变化的快慢,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?,探 究,(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它不能反映每一时刻的运动状态。,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,我们大都吹过气球，回忆一下在吹气球的过程中，随着气球内空气容量的增加我们看到的现象是什么？,问题情境3 气球膨胀率 实例分析 初探概念,2.看到的现象是： 随着气球内空气容量的增加，气球的半径 增加的越来越慢.,3.从数学的角度,如何描述这一现象呢?,空气容量
4、,半径,慢,增加,用数值来说话,2,1,3,0,0.62,0.78,0,0.89,0.62,0.16,0.11,思考？当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？,气球的平均膨胀率，反映了气球半径变化的快慢程度.,上述三个实际问题有什么共同特征呢？,思考?,平均变化率的定义：,建构数学理论,1.式子中的 x , y 值可正可负，但是 x 值不可以为 0， y 值可为 0.,2.变式：,3.计算平均变化率的步骤:（1）求函数值的增量 （2）求比值,定义理解：,平均变化率的几何意义：,x,0,A,B,直线AB的斜率,函数图象在区间端点处连线的斜率,平均变化率,曲线“陡峭”程度,数,形,刻
5、画变量变化的快慢,思考： 试举出生活中与平均变化率有关的例子。,例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。,解:从出生到第3个月,婴儿体重平均变化率为,从第6个月到第12个月,婴儿体重平均变化率为,知识运用,例2、已知函数f(x)=2x+1, 分别计算在区间 -3，-1，0，5上 f(x) 的平均变化率.,数学应用,思考:一次函数y=kx+b在区间m,n上的平均变化率有什么特点？,解：函数f(x)在 -3，-1上的y=f(-1)-f(-3)=4,函数f(x)在 0，5上的y=f(5)-f(0)=10,例3、已知函数
6、 f (x) = x2, 分别计算 f (x)在下列区间上的平均变化率：,（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.,4,3,2.1,2.001,课后思考:为什么平均变化率趋近于2呢？2的几何意义是什么？,数学应用,平均变化率图形演示,1.平均变化率的定义：,这节课我的收获是什么？,2.平均变化率的几何意义:,3.思想方法：数形结合,一.数学知识,二.数学思想,数学因运用而美丽!,作业：（1）p10 A组1 （2）见学案课后作业,请各位专家批评指正！,牛顿（1642 - 1727)是英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家 。,莱布尼茨(1646-1716) 德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人.,
