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1、曲线的参数方程,一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,如图，建立平面直角坐标系。,因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。,x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，,由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，,导入新课,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；,（2）沿oy反方向作自由落体运动。,在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？,t时刻，水平
2、位移为x=100t，离地面高度y，即：,y=500-gt2/2，,物资落地时，应有y=0，,得x10.10m；,即500-gt2/2=0，解得，t10.10s，,因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。,导入新课,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。,并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y)都在这条曲线上，,参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明
3、显实际意义的变数。,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,参数方程,例1: 已知曲线C的参数方程是 （t为参数） (1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。,解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上,把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到,这个方程无解，所以点M2不在曲线C上,(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以,解得t=2, a=9 所以，a=9.,例题,B,A(1，4)； B (25/16,0) C(1, -3) D(25/16,0),D,A(2，7)；
4、B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0),例题,（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.,参数方程求法:,（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为;,（2）选取适当的参数;,（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式;,参数方程求法,圆的参数方程,1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？,(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为 (a,b),半径为r的圆。,2.三角函数的定义？,3.参数方程的定义？,一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即,复习,点P在P0OP的终边上,如图,设O
5、的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角P0 OP =,求P点的坐标。,根据三角函数的定义得,解:,设P（x,y）,(1),我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数表示OP0到OP所成旋转角， 。,圆的参数方程,M(x, y),圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，,怎样刻画运动中点的位置呢？,圆的参数方程,那么=t. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有,如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M(x, y)，,即,这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方
6、程,参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻),考虑到=t，也可以取为参数，于是有,圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.,圆的参数方程,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。,圆的参数方程,(2)圆心为(-2,-3),半径为1: _.,(x-1)2+(y+1)2=25,例题,解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1,参数方程为,(为参数),练习：,例题,例2：如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,解：设点M
7、的坐标是(x, y),则点P的坐标是(2cos,2sin).,由中点坐标公式可得,因此，点M的轨迹的参数方程是,例题,解：由已知圆的参数方程为,例题,练习,A,A36 B6 C26 D25,D,A,参数方程和普通方程的互化,在例1中，由参数方程,直接判断点M的轨迹是什么并不容易。,一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.,把参数方程化为普通方程：,导入新课,（1）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等）消去参数化为普通方程。,如
8、：参数方程,消去参数,可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.,可得普通方程y=2x-4,通过代入消元法消去参数t ,（x0）。,注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,解: (1)由,得,代入,得到,这是以（1，1）为端点的一条射线；,所以,把,得到,例题,练习 把下列普通方程化为参数方程：,练习 把下列参数方程化为普通方程,(3),(t是参数),例题,(1),(2),(1) (x-2)2+y2=9,(2) y=1- 2x2（- 1x1）,(3) x2- y=2（x
9、2或x- 2）,练习、将下列参数方程化为普通方程：,步骤：（1）消参； （2）求定义域。,例题,B,例2 求参数方程,表示（ ）,（A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）;,（B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）;,（C）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2);,（D）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2).,例题,为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,例题,例、将下列参数方程化为普通方程：,(1),(2),（1）（x-2）2+y2=9,（2）y=1- 2x2（- 1x1）,（3）x2- y=2（X2或x- 2）,步骤：（1）消参； （2）注意取值范围。,参数方程
10、化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：,1.代入法：,利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数,2.三角法：,利用三角恒等式消去参数,3.整体消元法：,根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去,化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。,小 结,普通方程化为参数方程：,普通方程化为参数方程需要引入参数：,如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程:,一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:,就是曲线的参数方程。,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致,在y=x2中，xR, y0，,因而与 y=x2不等价；,练习:,曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.,在A、B、C中，x, y的范围都发生了变化，,而在D中， x, y范围与y=x2中x, y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,解：,
