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1、.,1,第二章 一元二次方程复习课,.,2,本章知识网络,概念:-一般形式:ax2+bx+c=0(a0) 直接开平方法:x2=p(p0) (mx+n)2 =p(p0) 解法 配方法 一 公式法: 因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0 元 判别式:b2-4ac=0 判别式 不解方程,判别方程根的情况, 二 用处 求方程中待定常数的值或取值范围, 进行有关的证明, 次 关系: x1+x2=-b/a x1.x2=c/a 已知方程的一个根,求另一个根及字母的值, 方 根与系数的关系 求与方程的根有关的代数式的值, 用处 求作一元二次方程, 程 已知两数的和与积,求此两数 判断方程两根的特殊关系,
2、实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,.,3,1.一元二次方程的概念,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,2、一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。,.,4,观察方程,等号两边都是整式,只含有一个未知数,未知数的最高次数是2次,特征如下：,有何特征？,(4) 3z2+1 = z (2z2 - 1),(5) x 2 = 0,结论：以上方程中(2)、(5)、(6)是一元二次方程,(6) ( x + 2) 2 = 4,.,5,一元二次方程的解法,1.因
3、式分解法。,2.开平方法。,3.配方法。,4.公式法,.,6,1.直接开平方法,对于形如ax2=p(p0)或(mx+n)2=p(po)的方程可以用直接开平方法解,.,7,2.配方法,用配方法解一元二次方程的步骤:,1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.,我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法,.,8,3.公式
4、法,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(,老师提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2.b2-4ac0.,.,9,公式法是这样生产的,你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0) 吗?,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;,5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.移项:把
5、常数项移到方程的右边;,.,10,4.分解因式法,当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.,老师提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”,.,11, (y+ )(y- )=2(2y-3) 3t(t+2)=2(t+2) x2=4 x-11 (x+101)2-10(x+101)+9=0,比一比，看谁做得快：,.,12,我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键
6、的作用.,.,13,若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac0,判别式逆定理,若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0,若方程没有实数根,则b2-4ac0,若方程有两个 实数根,则b2-4ac0,.,14,判别式的用处,1.不解方程.判别方程根的情况,2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数的值或取值范围,3.进行有关的证明,.,15,一元二次方程根与系数的关系,设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根,则有,x1+x2= , x1x2= .,.,16,解应用题,列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未
7、知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是:找出相等关系.,.,17,解:设底边边长应增加xcm,由题意,可列出方程_,1、如图,礼品盒高为10cm,底面为正方形,边长为4cm,若保持盒子高度不变,问底边边长应增加多少厘米才能使其体积增加200cm3?,10(x+4)2=1042+200,相信自己,.,18,80cm,50cm,2、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果使
8、整个挂图的面积是5400cm2，设金边的宽为xcm，则列出的方程是 .,（80+2x）（50+2x）=5400,相信自己,.,19,2.几何与方程,例1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.,.,20,几何与方程,例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.,.,21,几何与方程,例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样
9、剪?(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?,.,22,例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?,增长率与方程,.,23,例1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?,4.美满生活与方程,.,24,思考(09年广东中考)（本题满分9分） 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的
10、电脑会不会超过700台？,.,25,例.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?,5.经济效益与方程,.,26,3、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。本世纪的头二十年（2001年2020年），要实现这一目标，以十年为单位，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为 （ ） A、(1+x)2=2B、(1+x)2=4 C、1+2x=2 D、（1+x）+2（1+x)=4,
11、B,关键是理解“翻两番”是原来的4倍，而不是原来的2倍。,相信自己,.,27,6.我是商场精英,例.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?,.,28,例. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10 x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?,7.利润与方程,.,29,例1、
12、有一堆砖能砌12米长的围墙,现要围一个20平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长7米),其余三边用砖砌成,墙对面开一个1米宽的门,求鸡场的长和宽各是多少米?,解：设鸡场的宽为x米，则长为（12+1-2x）=（13-2x）米，列方程得：,X（13-2x）=20,解得：x1=4，x2=2.5,经检验：两根都符合题意,答：此鸡场的长和宽分别为5和4米或8与2.5米。,13-2x=5或8,.,30,已知矩形(记为A)长为4，宽为1，是否存在另一个矩形(记为B),使得这个矩形的周长和面积都为原来矩形周长和面积的一半?如果存在,求出这个矩形的长和宽；如果不存在,试说明理由。,相信自己,.,31,例2、某商场的
13、音响专柜,每台音响进价4000元,当售价定为5000元时,平均每天能售出10台,如果售价每降低100元,平均每天能多销售2台,为了多销售音响,使利润增加12%,则每台销售价应定为多少元?,解得: x =200或 x=300,每台的利润售出的台数=总利润,解:法二：设每天多销售了x台。 （10+x)(1000-50 x)=10000(1+12%),.,32,例3、如图所示，已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 10 海里的圆形区域（包括边界）均会受到台风的影响，当轮船到A处时测得台风中心移动到位于点A正南方向
14、的B处，且AB=100海里，若这艘轮船自A处按原速原方向继续航行，在途中是否会受到台风的影响？若会，试求出轮船最初遇台风的时间；若不会，请说明理由。,A,B,.,33,学以致用某军舰以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里)范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速沿原方向继续航行，则航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时侦察到？如果不能，请说明理由。,A,B,.,34,案例1：关于x的方程,有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
15、,解：,解得k,又k-10 k且k0,说一说,忽视二次项系数不为0,.,35,案例2：已知k为实数，解关于x的方程,解：,当k=0时，方程为3x=0, x=0,将原方程左边分解因式，得,当k0时，,说一说,忽视对方程分类讨论,.,36,案例3：已知实数x满足,求：代数式,解：,，,，,的值。,或,又,无实根，,说一说,忽视根的存在条件！,.,37,案例4：已知关于x的一元二次方程,有两个实根，求k的取值范围。解：由0，可得,解得 k - 2,又k+10, k1,k 的取值范围是k1,说一说,忽视系数中的隐含条件,.,38,案例5：已知,，,是方程,的两根，求,解： ,的值。,说一说,忽视讨论两
16、根的符号！,.,39,案例6：已知方程,的两个实根为,、,，设,求:,整数时S的值为1。解：原方程整理,，,=,为非负整数。,取什么,由= 4a+10得,，由,得,说一说,忽视系数中的隐含条件与判别式,。,取整数0。,.,40,案例7：在RtABC中，C=,，斜边c=5,的两根，求m的值 。解：在RtABC中， C=,检验:当,时，都大于0,两直角边的长a、b是,又因为直角边a,b的长均为正所以m 的值只有7。,说一说,忽视实际意义!,.,41,理一理,一元二次方程中几个容易忽视问题：,重视二次项系数不为0；,重视对方程分类讨论；,重视系数中的隐含条件；,重视根的存在条件 ；,重视讨论两根的符
17、号；,重视根要符合实际意义。,说一说,系数,根,.,42,1、某人将2000元人民币按一年定期储蓄存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及利息又全部按一年定期储蓄存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本利和共1320元（不计利息税），求一年定期存款的年利率。,做一做,解：设一年定期存款年利率为x，得：,2000（1+x）-1000（1+x）=1320,.,43,2、某人购买了1500元的债券，一年到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买这种债券定期一年（利率不变），再到期后他兑换到1308元，求这种债券的年利率,做一做,解：设这种债券的年利率为x，得：,1500（1+x）-435（1+x）=1308,.,44,3、某玩具厂第一年出品精致玩具5万件，以后逐年增长，第三年出品14万件，后两年平均每年的增长率是多少?,4、某服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？,.,45,小结： 这节课你有哪些收获？,要用数学的眼光去观察生活,.,46,再见,
