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1、Dynamics & Control,动力学和控制基础,陈 立 群,上海大学力学系，上海市应用数学和力学所,lqchenstaff.shu.edu,Dynamics & Control,提纲,1 引言,2 工程背景,3 系统建模,4 系统分析,5 系统控制,6 总结,Dynamics & Control,引言,动力学与控制,研究随时间变化过程及其调节的力学分支学科。,主要内容,系统的建模、分析和控制,Dynamics & Control,2.1 车辆中的力学问题,设：车轮、车身作平面运动,车身和车轮的运动不仅仅是平面运动,车身作什么运动？ 车轮作什么运动？,工程背景,Dynamics & Co
2、ntrol,汽车的减振测试与疲劳测试,越野赛车,问题的研究是： 从简单到复杂； 从特殊到一般； 从单一到综合。,工程背景,Dynamics & Control,1893年生产的轿车,车轴与车体之间无减振器,汽车发展的要求：便捷、舒适、安全、环保研究对象：多个物体组成，结构更加复杂,减振结构：独立悬架,工程背景,Dynamics & Control,现代研制的轿车、吉普车减振结构：独立悬架,独立悬架,共轴式悬架,工程背景,Dynamics & Control,研制方法：计算机的引入,工程背景,Dynamics & Control,模拟实验和物理实验对比,车辆碰撞的计算机模拟实验,工程背景,Dyn
3、amics & Control,工程背景,Dynamics & Control,机器人骑自行车,工程背景,Dynamics & Control,摩托车行驶失稳的现象,工程背景,Dynamics & Control,航天器对接,2.2 飞行器的动力学问题,工程背景,Dynamics & Control,工程背景,飞机起落架的动力学仿真,Dynamics & Control,工程背景,卫星太阳翻版展开的动力学仿真,问题1：用什么方法建立系统的动力学方程便于编程计算？,Dynamics & Control,工程背景,问题2：用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？,Dynamics & Cont
4、rol,系统建模,3.1 概述,建模是指导出时间变化系统控制方程的过程。,建模先要对系统的构成进行分析，尽可能考虑系统的主要因素，再根据具体问题确定要采用的方法。,完全根据力学理论的建模称为原理建模。主要包括能量法(Lagrange方程、变分原理等)和矢量法(Newton-Euler法)两大类。,以实验作为主要方法的建模称为数据建模。主要包括模型辨识和参数估计等。,Dynamics & Control,系统建模,3.2 Lagrange方程,1736年1月25日生于意大利的都灵,1813年4月10日在法国巴黎去世，19岁当数学教授，为变分法奠定了理论基础， 是当时欧洲公认的第一流的数学家。,他
5、写的分析力学（1788出版）一书运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化。,Dynamics & Control,系统建模,1769年蒸汽机车的模型,问题的引出,Dynamics & Control,系统建模,问题：在不计摩擦的情况下，用什么方法建立系统的运动与主动力的关系?,质点系或刚体系的动力学问题,Dynamics & Control,系统建模,设：质点系中第 i 个质点的质量为 ;作用在其上的有主动力 ; 约束力 . 质点的惯性力为,应用dAlembert原理：,应用虚位移原理：,若质点系所受的约束为理想约束,其中：,动力学普遍方程,Dynamics & Con
6、trol,系统建模,Lagrange形式的dAlembert原理,受有理想约束的质点系，在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。,动力学普遍方程的直角坐标形式,Dynamics & Control,系统建模,设：具有完整理想约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为：,T 为系统的动能，可表示成：,如何推导？,Dynamics & Control,系统建模,(9-5),证明:,n个质点，s个完整约束，k3ns，,Dynamics & Control,系统建模,2),将式(9-4)两边对广义坐标,证明:,求偏导数，有,而,比较以上两式，可得,(9
7、-6),Dynamics & Control,系统建模,Dynamics & Control,系统建模,Lagrange方程几种形式,1、当所有主动力均为有势力时,设：LT-V （ Lagrange函数）,Dynamics & Control,系统建模,2、当部分主动力为有势力时,设：LT-V （Lagrange函数）,应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤：1、确定系统的自由度和广义坐标；2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能；3、给出系统的拉格朗日函数；4、确定系统的非有势力的广义力。,Dynamics & Control,系统建模,解：1、求系统的动能和势能 ( La
8、grange函数 ),例1：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接，求系统运动微分方程。AB2L,Dynamics & Control,系统建模,2、求非有势力的广义力,3、建立系统运动微分方程,方程的物理意义？,Dynamics & Control,系统建模,对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，则系统的动力学方程为：,：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力,当系统为保守系统时，有：,1：若系统存在循环坐标 ，则：,2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：,Dynamics & Control,系统建模,3.3 Hamilton方程简介,对于具有理想约束的质点系
9、，其主动力为有势力，若设：,Hamilton方程是关于广义坐标和广义动量的一阶微分方程组。,则系统的Hamilton方程为：,Dynamics & Control,系统建模,对于定常约束的质点系，若主动力为有势力，则哈密顿函数H就是系统的动能与势能之和，即：,Hamilton方程为数值计算提供了很好的微分-代数结构，在此基础上建立的辛算法可保持长期数值计算的稳定性。,对于定常约束的质点系，有：,Dynamics & Control,系统建模,在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为Hamilton系统，其动力学方程可表示成：,问题：如何精确地计算行星的运动轨迹，准确预测行星位置?解决问题的方法：提
10、高计算方法精度和速度、通过数值仿真预测行星的运动轨迹和位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。,k=3n, n为行星的个数(=9大行星+近百个小行星),Dynamics & Control,系统建模,冯 康(1920.91993.8) 数学与物理学家、计算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理系。19511953年赴前苏联进修。 曾任中国数学会理事，计算数学分会副理事长，中国计算机学会副主任等职。 1980年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部院士)。 在拓扑代数、广义函数和计算数学等领域取得多方面首创性成就，并对我国计算机事业的创建和发展做出了重要贡献。,20世纪80年代，他提出了Hami
11、lton系统的辛算法。该算法可保持长期数值计算的稳定性。,Dynamics & Control,系统建模,20世纪90年代末，中国科学院计算数学研究所，秦孟兆院士领导的课题组，用Hamiltom系统的辛算法，预测小行星撞击地球的可能性是： 50年内不会发生,50年后，即使有小行星撞击地球的可能性，那时侯人类的科技手段一定能够阻止灾难的发生。,Dynamics & Control,系统分析,3.1 概述,分析是确定系统状态变化定性或定量特征的过程。,除采用实验方法进行分析以外，常用的理论分析方法包括：几何方法、解析方法和数值方法。,几何方法是对系统作定性分析的方法。不仅能得到直观的定性结果，而且
12、可为其它研究方法提供理论依据。,解析方法是对系统作定量分析的方法。不仅能确定系统运动随时间变化的规律，而且还能得到运动特性对系统参数的依赖关系。,数值方法是对系统作定量计算的方法。通过数值求解非线性微分方程得到系统在特定的参数条件和初始条件的运动规律。,Dynamics & Control,系统分析,3.2 单自由度线性系统分析,问题：对已知F(t)，求解常微分方程初值问题,思路：线性系统叠加原理,其中,将激振力 F(t) 看作一系列脉冲力的叠加,Dynamics & Control,系统分析,对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应,单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数(t
13、) 表示,函数也称为单位脉冲函数，定义为：,且,的图象用位于时刻、长度为 1 的有向线段表示,Dynamics & Control,系统分析,函数：,是一个广义函数,可以看作矩形脉冲、脉冲面积为 1 而脉冲宽度趋于零时的极限,即,=,其中,也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲,量纲：1/秒,Dynamics & Control,系统分析, 函数的性质:,特别地，当时刻 = 0 时，有,当 I0 =1 时，为单位脉冲力,因而,Dynamics & Control,系统分析,现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应,单位脉冲响应,记： 0+、0- 为单位脉冲力的前后时刻,运动微分方程与初始
14、条件可合写为,或脉冲响应,乘dt,在脉冲力作用的瞬间，位移来不及变化，但速度可产生突变,令：,Dynamics & Control,系统分析,在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间，位移则来不及有改变，即有：x(0+) = x(0-),又当 t 0+ 时，脉冲力作用已经结束，所以 t 0+ 时，有,质量越大， 越小,质量越小， 越大,Dynamics & Control,系统分析,系统的单位脉冲响应即初始位移为零，而初始速度为 1/m 的自由振动,记为 h(t),无阻尼系统,若单位脉冲力不是作用在时刻 t = 0，而是作用在 t =时刻,响应,如果系统在 t=时刻受到冲量为
15、I0 的任意脉冲力作用，则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为,Dynamics & Control,系统分析,当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，可以将激振力 F(t) 看作一系列脉冲力的叠加,对于时刻 t =的脉冲力,系统受脉冲作用后产生速度增量,并引起 t 各个时刻的响应,系统的脉冲响应,其冲量为,Duhamel积分,Dynamics & Control,系统分析,利用卷积性质,初始条件,若阻尼为零,Dynamics & Control,系统分析,例2：有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,计算Duhamel积分：,Dynamics & Contr
16、ol,系统分析,经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动,对于零初始条件,Dynamics & Control,系统分析,3.3 多自由度无阻尼线性系统分析,作用力方程：,固有振动方程：（自由振动方程）,在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动,运动规律的时间函数,常数列向量,多自由度系统的固有频率,Dynamics & Control,系统分析,代入，并左乘 ：,：常数,M 正定，K 正定或半正定,对于非零列向量 ：,令：,对于半正定系统，有,对于正定系统必有,Dynamics & C
17、ontrol,系统分析,a、b、 为常数,（1）正定系统,只可能出现形如 的同步运动,系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动,（2）半正定系统,可能出现形如 的同步运动,也可能出现形如 的同步运动,（不发生弹性变形 ）,主振动,Dynamics & Control,系统分析,首先讨论正定系统的主振动,M 正定，K 正定,主振动：,正定系统：,将常数 a 并入 中,代入振动方程：,有非零解的充分必要条件：,特征方程,Dynamics & Control,系统分析,解出 n 个值，按升序排列为：,：第 i 阶固有频率,频率方程或特征多项式,仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数,：基频,
18、Dynamics & Control,系统分析,多自由度系统的模态（主振型）,正定系统,主振动,特征值问题,特征值,特征向量,n 自由度系统,（固有频率）,（模态）,一一对应,代入,Dynamics & Control,系统分析,当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的,设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端,若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的,否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组,Dynamics & Control,系统分析,将 ， 代入主振动方程,第 i 阶主振动,系统在各个坐标
19、上都将以第 i 阶固有频率 做简谐振动，并且同时通过静平衡位置,比值,第 i 阶特征向量 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值,Dynamics & Control,系统分析,虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定,描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶主振型，或第 i 阶模态,主振动仅取决于系统的 M 阵、K 阵等物理参数。这一重要概念是单自由度系统所没有的,系统的固有振动,n个主振动的叠加,模态叠加法,由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动,初始条件决
20、定,Dynamics & Control,系统分析,模态的正交性，主质量和主刚度,两式相减,转置右乘,左乘,若 时，,模态关于质量的正交性,模态关于刚度的正交性,均满足,当 ij 时,第 i 阶模态主质量,第 i 阶模态主刚度,第 i 阶主模态,恒成立,Dynamics & Control,系统分析,模态关于质量的正交性,模态关于刚度的正交性,当 ij 时,主质量,主刚度,当 时,利用 Kronecker 符号,第 i 阶固有频率,Dynamics & Control,系统分析,另一种模态：正则模态,定义：全部主质量皆为1的主模态,令,正则模态和主模态之间的关系：,相对于 的主刚度,正则模态的
21、正交性条件：,主模态的正交性条件：,Dynamics & Control,系统分析,将 组成矩阵,模态矩阵,主质量矩阵,主刚度矩阵,Dynamics & Control,系统分析,推导：,Dynamics & Control,系统分析,正则模态,将 组成矩阵,正则模态矩阵,单位矩阵,谱矩阵,正交性条件,Dynamics & Control,系统分析,特征值问题：,依次取 ，得到的 n 个方程，可合写为：,主模态正交性条件：,左乘,Dynamics & Control,系统分析,求解无阻尼系统对初始条件的响应,采用正则模态坐标,自由振动方程,坐标变换,：正则模态坐标,：正则模态矩阵,代入，并左乘
22、,模态坐标初始条件,Dynamics & Control,系统分析,坐标变换,在求得 后，可利用 式求得原系统的解,Dynamics & Control,系统分析,任意外部激励的响应,n 自由度系统,正则坐标初始条件,：正则模态矩阵,在得到 后，利用 得出原系统的解,模态广义力,Dynamics & Control,系统分析,小结,耦合,解耦,耦合,解耦,Dynamics & Control,系统分析,3.4 稳定性浅说,问题：如何分析平衡位置的稳定性？,Dynamics & Control,系统分析,稳定性的萌芽思想,2000年前 ，汉朝的淮南王刘安 淮南子说山训 ：“下轻上重，其覆必易”；
23、 宋朝沈括在 梦溪笔谈中把这种观察到的事实付诸于应用 ，他在忘怀录 中指出：“安车车轮不欲高，高则摇” ；类似稳定，至少可以追溯1500年前到晋书上所述“行人安稳，布帆无恙” ；西方“stable”源出于拉丁文“stabilis” ，表示坚持、保持的意思；以上说法与观念表现了对稳定这一概念的最初理解。,Dynamics & Control,系统分析,稳定性科学概念的发展,18世纪下半叶到19世纪末 ，发生了一些具有深远影响的事件，从中人们可以看到稳定性理论产生的必然性。 J. Watt 1765改进了T. Newcomen 发明的蒸气机 ，引发了工业革命； J. L. Lagrange 178
24、0年出版 分析力学，科学地讨论了平衡位置的稳定性； C. Hermite 1856年建立了关于多项式对根交错的理论；J. C. Maxwell 1868年发表的“论调节器” ，讨论了蒸气机自动调速器与时钟机构的运动稳定性；,Dynamics & Control,系统分析,A.L. Cauchy 在19世纪给出了关于极限描述的，N语言；H. Poincare在微分方程定义的积分曲线和天体力学方面作出了贡献；G. Peano，I. Bendixson和G. Darboux微分方程解对初值及参数连续依赖性的研究。 上述这些重要事件及相关科学的进展促成了19世纪末稳定性理论的两个主要学派的形成。,稳定
25、性科学概念的发展,Dynamics & Control,系统分析,Routh-Hurwitz （1875，1895）通过判断系统的特征根是否在左半平面判定系统是否稳定；A.M. Lyapunov 1892发表著名的博士论文运动稳定性一般问题，通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。,两个主要学派,Dynamics & Control,系统分析,平衡的稳定性(stability of equilibrium)：质点系处于某一平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是稳定的(stable)，否则是不稳定的(unstable)。,Dynamic
26、s & Control,系统分析,质点系在势力场中平衡的充分必要条件：,定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要条件是系统在平衡位置的势能为极小值。,Dynamics & Control,系统分析,平衡是如何实现的？,Dynamics & Control,系统分析,3.5 混沌浅说,混沌是非线性系统特有的一种运动形式，产生确定性系统的敏感依赖于初始条件的往复性非周期运动，类似于随机振动而具有长期不可预测性。,Dynamics,Edward N. Lorenz,Dynamics & Control,系统分析,例2：系统如图示，设均质杆OA长为 L 质量为m，其阻力系数为 c，扭簧刚度系数
27、为 k。当 OABC 时，扭簧无变形，已知BC杆的转动： , 试建立OA杆的运动微分方程。,Dynamics & Control,系统分析,解：研究OA杆，进行受力分析,常系数非齐次非线性微分方程,Dynamics & Control,系统分析,在一定参数条件下，响应周期与激励周期相同,Dynamics & Control,系统分析,Dynamics & Control,系统分析,在一定参数条件下，响应周期与激励周期不同,Dynamics & Control,系统分析,Dynamics & Control,系统分析,Dynamics & Control,系统分析,Dynamics & Cont
28、rol,系统分析,摆杆的运动滑块的运动,例3：例1的数值仿真结果,Dynamics & Control,系统分析,初值在红色区域内系统将产生 混沌运动,Dynamics & Control,系统控制,4.1 概述,控制是调节系统状态变化定性或定量特征的过程。,控制理论是门内涵丰富的技术科学。它研究如何按被控对象和环境特性、通过能动地采集和运用信息、施加控制作用而使系统正常运行且具有预定的功能。,控制理论的主要方法包括状态空间方法和频域方法。,状态空间方法是通过一组适当选取的状态变量，将系统中的动态过程及静态过程用常微分方程组及代数方程组的形式表示。这里系统的方程可反映系统的每个状态变量的变化过
29、程，故是种内部的描述。在现代控制理论中，常采用状态空间方法。本节仅介绍状态空间方法。,Dynamics & Control,系统控制,频域方法是通过传递函数描述系统或系统的各部分的输入和输出的关系。由于它没有直接涉及系统内部的众多变量，而仅涉及最主要的变量：输入和输出，故它是种外部描述。传统上频域方法主要适用于线性系统，近来也被发展到非线性系统，主要是通过广义频率响应函数或非线性传递函数的分析确定非线性系统某些频率特性。频域方法物理意义明确，便于实验，所设计的控制器具有鲁棒性。因此，经典控制理论中，频域方法是最常用的，并取得良好效果。,Dynamics & Control,系统控制,4.2 控
30、制系统,一般的控制系统由受控系统、测量装置和执行机构组成。,控制系统数学描述包括状态方程和输出方程，状态方程表示系统由于输入所引起内部状态的变化，输出方程表示系统输出与系统状态和系统输入之间的关系。状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程。,其中为xRn状态变量，yRl为输出变量，uRm为控制信号，又称为系统输入，实数t为时间。,控制系统分为定常系统和非定常系统，前者不显含时间t，后者显含时间t。控制系统还可以分为线性系统和非线性系统，若状态方程和输出方程的右端均为状态、输入和时间的线性函数，则为线性系统，否则为非线性系统。,Dynamics & Control,系统控制,4
31、.3 局部线性化与线性系统,局部线性化是种近似的线性化方法。该方法基于将非线性函数在工作状态附近展开成Taylor级数并仅保留线性项。因为忽略了Taylor级数展开式中的高阶项，故这些被忽略的高阶项必须很小，即状态变量仅能对工作状态有微小偏离。局部线性化是非线性系统的一种最简单的简化方式，适用于许多非线性系统。该方法存在误差，而且误差随偏离理想状态的增大而急剧增大，故该线性化方法仅在工作状态的小邻域内研究控制精度要求不是很高的问题才有效。当工作状态的可能变化范围很大或需要控制精度很高时，局部线性化方法不适用。为保证局部线性化的适用性，有必要对基于该方法得到的结论如控制律代入原来的非线性模型进行
32、理论分析或数值仿真。,Dynamics & Control,系统控制,其中各Jacobi矩阵,Dynamics & Control,系统控制,例4：倒立摆的控制,单摆倒立在可水平移动的小车上。小车和单摆均在同一平面内运动。车的质量为M，摆球的质量为m，摆杆的质量不计，长度为l。控制力u作用在小车上。摆在有干扰时保持摆垂直，且在每一控制过程结束时小车都返回初始位置。导出受控系统数学模型，进行局部线性化。,小车和摆球均可模型化为质点。用小车离开初始位置的距离x和摆杆偏离垂直位置的角度描述系统的运动。系统的Lagrange函数,Dynamics & Control,系统控制,应用Lagrange方程
33、可导出系统运动方程,引入状态变量,受控系统的数学模型,Dynamics & Control,系统控制,分别在x=0计算式右端关于x和u的Jacobi矩阵，导出受控系统数学模型的局部线性化,Dynamics & Control,系统控制,4.4 控制设计,设计问题是确定系统的反馈控制律使系统具有稳定性等性能指标，又称为综合问题。设计问题的一个特殊情形是参数选择问题。假设控制律具有某种给定的形式，确定其中的待定参数。,控制系统的任务可以分为两类：镇定(又称调节)和跟踪(又称伺服)。镇定问题是要计控制系统使得受控系统的状态稳定在一个平衡点的周围。跟踪问题是要设计控制系统使得受控系统的输出跟踪一个给定
34、的时间信号。严格而论，镇定问题是指渐近镇定问题。对于满足关系,求控制律u使从任意允许区域开始的状态有输出变量满足,Dynamics & Control,系统控制,跟踪问题也是指渐近跟踪问题。对于系统和任意给定的期望输出yd(t)，求控制律u，使得从允许区域中任意状态开始，跟踪误差e(t)=y(t)-yd(t)满足,求解跟踪问题一般比求解镇定问题困难，因为在跟踪问题中控制器不仅要保持整个状态的稳定而且还要驱使系统的输出逼近期望的输出。在理论上，两者是互相联系的。跟踪问题等价于以跟踪误差为状态变量的镇定问题，而镇定问题是以系统平衡点为期望输出的跟踪问题。,具体实现控制有两种基本方案：开环和闭环。在
35、开环控制律中，控制信号仅是时间的函数,Dynamics & Control,系统控制,在闭环控制中，控制信号还与状态变量和输出变量有关。开环控制又称为前馈控制，闭环控制又称反馈控制。根据控制变量的不同，反馈控制又可分为输出反馈和状态反馈。在输出反馈中，控制信号是输出变量和时间的函数,在状态反馈中，控制信号是状态变量和时间的函数,所引入的反馈控制中控制信号直接依赖于输出变量或状态变量，为静态反馈。控制信号通过微分方程依赖于输出变量或状态变量，为动态反馈，控制律中含有动态特性。,在研究跟踪问题时，通常同时应用开环和闭环控制。通常在控制律中不包含前馈的作用，就不能稳定地控制非线性系统。前馈的作用是提供必要的输入信号来跟踪给定的期待输出以抵消已知的干扰。反馈部分的作用是使误差的动态特性稳定。,Dynamics & Control,总结,动力学与控制包括系统建模、分析和控制。,系统建模：Lagrange方程。,系统分析：单自由度系统对任意激励的响应、多自由度吴阻尼系统对任意激励的响应、稳定性的概念与平衡稳定性、混沌运动的描述,系统控制：控制系统的数学模型、局部线性化、镇定和追踪问题、开环和闭环方案,Dynamics & Control,与同学们共勉,业精于勤荒于嬉行成于思毁于随,敬请指导！,END,
