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1、Chapter3 运输规划( Transportation Problem ),运输规划问题的数学模型表上作业法运输问题的应用,本章主要内容：,运输规划问题的数学模型,例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？,运输规划问题的数学模型,解：产销平衡问题：总产量 = 总销量500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：,Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 +
2、 x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）,运输规划问题的数学模型,运输问题的一般形式：产销平衡,A1、 A2、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、Bn 表示某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量； bj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：,运输规划问题的数学模型,已知资料如下：,产销平衡,销 量,
3、运价,运输规划问题的数学模型,当产销平衡时，其模型如下：,运输规划问题的数学模型,当产大于销时，其模型如下：,运输规划问题的数学模型,当产小于销时，其模型如下：,运输规划问题的数学模型,特征： 1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n1 个基变量。,运输规划问题的数学模型,运输问题约束条件的系数矩阵,m,n,运输规划问题的数学模型,运输问题的求解思路,运输规划问题的数学模型,计算步骤：,(1) 找出初始调运方案。即在(mn)产销平衡表上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）,(2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是否达到最优
4、解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。,(3) 对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上闭回路法调整）,确定m+n-1个基变量,(4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。,空格,二、表上作业法,表上作业法,表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。,表上作业法,例3.2 某运输资料如下表所示：,问：应如何调运可使总运输费用最小？,1、求初始方案：最小元素法、西北角法、伏格尔法,表上作业法,基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,总的运输费(31)+(64) +(4
5、3) +(12)+(310)+(35)=86元,方法1：最小元素法,3,4,1,6,3,3,表上作业法,练习,12,13,13,19,1,2,表上作业法,（2）西北角法（或左上角法）,此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。方法如下：,3 6 5 6,7 4 9,3,4 4 9,0 6 5 6,4,0 4 9,0 2 5 6,2,0 2 9,0 0 5 6,2,0 0 9,0 0 3 6,3 6,0 0 0 0,0 0 0,3 4 0 00 2 2 00 0 3 6,表上作业法,在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.,8,8
6、,6,4,8,14,所以，初始基可行解为：(8,8,4,8,14)目标函数值Z372,例3.3 某运输资料如下表所示：,表上作业法,练习,8,13,13,14,6,6,表上作业法,最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。例如下面两种运输方案。,最小元素法：,总运费是z=108+52+151=105,另一种方法：,总运费z=105+152+51=85,表上作业法,方法2：Vogel法,
7、1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,10-3=7,2-1=1,5-4=1,3-1=2,9-4=5,3-2=1,8-5=3,表上作业法,2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。重复1)和2)，直到找出初始解为至。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,5,表上作业法,7,1,3,5,2,7,5,3,表上作业法,1,1,3,5,1,5,3,6,3,1,2,该方案的总运费:(13)
8、(46)(35)(210)(18)(35)85元,14,所以，初始基可行解为：目标函数值Z244,表上作业法,例3.4 某运输资料如下表所示：,14,所以，初始基可行解为：目标函数值Z244,8,表上作业法,例3.4 某运输资料如下表所示：,14,所以，初始基可行解为：目标函数值Z244,8,8,表上作业法,例3.4 某运输资料如下表所示：,14,所以，初始基可行解为：目标函数值Z244,8,8,表上作业法,例3.4 某运输资料如下表所示：,12,14,所以，初始基可行解为：目标函数值Z244,8,8,表上作业法,例3.4 某运输资料如下表所示：,12,2,4,表上作业法,练习,1,2,13,
9、12,13,19,表上作业法,2、 最优解的判别（检验数的求法）,求检验数的方法有两种： 闭回路法 对偶变量法（位势法）,（1）闭合回路法： ij0 （因为目标函数要求最小化） 表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。基变量的检验数ij0，非基变量的检验数ij0。,ij 0 表示运费增加。,闭回路：从空格出发顺时针(或逆时针)画水平(或垂直)直线，遇到填有运量的方格可转90，然后继续前进，直到到达出发的空格所形成的闭合回路。,调运方案的任意空格存在唯一闭回路。,表上作业法,注：1.每一空格有且仅有一条闭回路； 2.如果某数字格有闭回路，则此解不是可行解。,若令则,运费的增量,分析：,表
10、上作业法,以最小元素法的初始解为例。假设产地A1供应1个单位的物品给销地B1。则解的变化和目标函数的变化如何。,表上作业法,要保证产销平衡，则,称为闭回路,1,表上作业法,1,2,表上作业法,1,2,1,表上作业法,10,2,1,1,表上作业法,1,2,1,12,10,表上作业法,1,2,1,-1,12,10,检验数中有负数，说明原方案不是最优解。,表上作业法,练习,5,5,7,9,-3,-11,ui,vj,m个,n个,（2）对偶变量法（位势法）,表上作业法,设其对偶变量为：,uivj无约束 （i=1,2, ,m;j=1,2, ,n),标准型运输问题的对偶问题模型为：,表上作业法,则运输问题变
11、量xij的检验数为：,表上作业法,用位势法对初始方案进行最优性检验的方法：,1）在给定初始解的表上增加一行和一列，在列中填入ui，在行中填入vj。,2）令u10，再按cij-(ui+vj)=0（基变量的cij求出其余的ui与vj。,3）由i j=Ci j -（ui+vj），求出非基变量的检验数。,表上作业法,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,u1,u2,u3,v3,v4,v1,v2,注意：基变量的检验数i j=Ci j -（ui+vj）=0,4,3,6,3,1,3,表上作业法,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,0,-1,-5,3,10,2,9,令u1=0
12、,u1+v3=3,u1+ v4 =10,u2+ v3=2,u2+v1=1,u3+v2=4,u3+ v4=5,4,3,6,3,1,3,表上作业法,2,4,3,6,3,1,3,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,当存在非基变量的检验数ij 0，说明现行方案为最优方案，否则目标成本还可以进一步减小。,注意：非基变量的检验数i j=ci j -（ui+vj）,11=c11 -（u1+v1）=3-(0+2)=1,31=c31 -（u3+v1）=7-(2-5)=10,24=c24 -（u2+v4）=8-(10-1)=-1,22=c22 -（u2+v2）=9-(9-1)=1,12=c12
13、-（u1+v2）=11-(0+9)=2,33=c33 -（u3+v3）=10-(3-5)=12,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,表上作业法,3、 解的改进 闭合回路调整法（原理同单纯形法一样）,当在表中空格处出现负检验数时，表明未得最优解。若有两个或两个以上的负检验数时，一般选用其中最小的负检验数，以它对应的空格为调入格，即以它对应的非基变量为换入变量。做一闭合回路。,( 1 ) 确定换入基的变量：当存在非基变量的检验数kl 0 且kl =minij时，以Xkl为换入变量，找出它在运输表中的闭合回路。,接上例：,解的改进的具体步骤：,表上作业法,2,4,3,6,3,1,3
14、,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,( 2 ) 顶点编号：以空格(Ak,Bl)(或进基变量xik）为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号。,1,3,2,4,表上作业法,2,4,3,6,3,1,3,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,( 2 ) 顶点编号：以空格(Ak,Bl)(或进基变量xik）为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号。,1,3,2,4,换出变量X23,表上作业法
15、,( 3 ) 确定换出基的变量：在该闭回路上，从所有偶数号格点的调运量中选出最小值 的顶点（格子），以该格子中的变量为换出变量。,( 4 ) 确定新的运输方案：以换出变量的运输量为调整量 ，将该闭回路上所有奇数号格的调运量加上调整量 ，所有偶数号格的调运量减去 ，其余的不变，这样就得到一个新的调运方案。该运输方案的总运费比原运输方案减少，改变量等于换出变量的检验数。,( 5 )然后，再对得到的新解进行最优性检验，加不是最优解，就重复以上步骤继续进行调整，一直到得出最优解为止。,表上作业法,2,3,6,3,1,(1),(1),(1),(1),3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,
16、4,3,表上作业法,3,10,3,9,vj,-5,A3,-2,A2,0,A1,ui,B4,B3,B2,B1,5,3,6,3,1,2,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,重新求所有非基变量的检验数：,表上作业法,3,10,3,9,vj,-5,A3,-2,A2,0,A1,ui,B4,B3,B2,B1,5,3,6,3,1,2,（2）,（2）,（1）,（12）,（9）,（0）,当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：Z =(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,表上作业法,
17、表上作业法的计算步骤：,表上作业法,表上作业法计算中的问题：,（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取ij0中最小者对应的变量为换入变量。（2）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问题有无穷多最优解。,如上例： 11的检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。,表上作业法, 退化解： 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可
18、。 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过2个最小值）作为调整量，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为非基变量。,表上作业法,12,4,11,4,8,3,10,2,9,5,11,6,(0),(2),(9),(2),(1),(12),8,12,4,2,8,14,如下例中11检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。,表上作业法,11,4,4,3,1,3,7,7,8,2,10,6,3,4,1,6,0,6,在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x34,例：用最小元素法求初始可行解,一、产销不平衡的运输问题当总产量与总销量不
19、相等时,称为不平衡运输问题.这类运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。,当产大于销时，即：,数学模型为：,运输问题的进一步讨论,由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地Bn+1， bn+1作为一个虚设销地Bn+1的销量(即库存量)。各产地Ai到Bn+1的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的数学模型为：,具体求解时,只在运价表右端增加一列Bn+1，运价为零,销量为bn+1即可,运输问题的进一步讨论,当销大于产时，即：,数学模型为：,由于总销量大于总产量,故
20、一定有些需求地不完全满足,这时虚设一个产地Am+1，产量为：,运输问题的进一步讨论,销大于产化为平衡问题的数学模型为 ：,具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为零。产量为am+1即可。,运输问题的进一步讨论,例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。,因为有：,运输问题的进一步讨论,所以是一个产大于销的运输问题。表中A2不可达B1，用一个很大的正数M表示运价C21。虚设一个销量为b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列 ，得到新的运价表。,运输问题的进一步讨论,下表为计算结果。可看出：产地A4还有20个单位没有运出。,用前面的方法求运输方案：,
21、运输问题的进一步讨论,运输问题的进一步讨论,例3.5 某市有三个造纸厂A1，A2，A3，其纸的产量分别为8，5和9个单位，有4个集中用户B1，B2，B3，B4，其需用量分别为4，3，5和6个单位。由各造纸厂到各用户的单位运价如表314所示，请确定总运费最少的调运方案。,运输问题的进一步讨论,解：由于总产量22大于总销量18，故本问题是个产销不平衡运输问题。增加一假想销地B5，用表上作业法求解。,运输问题的进一步讨论,应用问题举例,例3.5 由n个地区需要某种物资，需要量分别不少于bj（j=1,n）。这些物资均由某公司分设在m个地区的工厂供应，各工厂的产量分别不大于ai（i=1,m）,已知从第i
22、个地区至第j个需求地区单位物资的运价为cij，又 ，试写出其对偶问题，并解释对偶变量的经济意义。,由于在变量相等的情况下，表上作业法的计算远比单纯形法简单得多。所以在解决实际问题时，人们常常尽可能把某些线性规划的问题化为运输问题的数学模型。,应用问题举例,解：由题给出的条件，数学模型可写为:,对偶问题可写为 ：,应用问题举例,对偶变量ui的经济意义为在i产地单位物资的价格，vj的经济意义为在第j销地单位物资的价格。 对偶问题的经济意义为：如该公司欲自己将该种物资运至各地销售，其差价不能超过两地之间的运价（否则买主将在i地购买自己运至j地），在此条件下，希望获利为最大。,应用问题举例,已知资料如下表所示，问如何供电能使总的输电费用为最小？,电力供需表,单位输电费用,练习：,初始方案,单位输电费用,电力供需表,应用问题举例,ij,- (ui+vj),=,cij,(ui+vj),应用问题举例,成本表,(ui+vj),调运方案,应用问题举例,ij =cij-(ui+vj),成本表,调运方案,应用问题举例,(ui+vj),C=5200,ij =cij-(ui+vj),应用问题举例,试用表上作业法求最优解,应用问题举例,最小总费用为945。,应用问题举例,
