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1、Chapter3 运输规划(Transportation Problem),运输规划问题的数学模型表上作业法运输问题的应用,本章主要内容：,运输规划问题的数学模型,例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？,运输规划问题的数学模型,解：产销平衡问题：总产量=总销量500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：,Min C=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t.x11+x12+x13=200 x21+x22+
2、x23=300 x11+x21=150 x12+x22=150 x13+x23=200 xij 0(i=1、2；j=1、2、3）,运输规划问题的数学模型,运输问题的一般形式：产销平衡,A1、A2、Am 表示某物资的m个产地；B1、B2、Bn 表示某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量；bj 表示销地Bj 的销量；cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：,运输规划问题的数学模型,变化：1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不
3、等式约束)；3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。,定理:设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为m+n-1。,表上作业法,表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。,表上作业法,例3.2 某运输资料如下表所示：,问：应如何调运可使总运输费用最小？,表上作业法,解：第1步 求初始方案,方法1：最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,3,4,1,6,3,3,表上作业法,总的运输费(31)+(64)+(43)+(12)+(31
4、0)+(35)=86元,元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。,15,5,10,总运费是z=108+52+151=105,最小元素法：,表上作业法,5,15,10,总运费z=105+152+51=85,后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是82=6，如果不先调运x21，到后来就有可能x110，这样会使总运费增加较大，从而先调运x21，再是x22，其次是x12,用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似方案。,表上作业法,方法2：Vogel法,1）从运价表中分别
5、计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,表上作业法,2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。重复1)和2)，直到找出初始解为至。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,5,表上作业法,7,1,1,3,5,2,1,5,表上作业法,7,1,3,5,2,7,5,3,表上作业法,1,1,3,5,1,5,3,6,3,1,2,该方案的总运费:(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,表上作业法
6、,第2步 最优解的判别（检验数的求法）,求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记xij的检验数为ij由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：,所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优,求检验数的方法有两种：闭回路法 位势法（）,位势法求检验数是根据对偶理论推导出来的一种方法。,设平衡运输问题为,设前m个约束对应的对偶变量为ui(i=1,2,m)，后n个约束对应的对偶变量为vj(j=1,2,n),则运输问题的对偶问题是,4.2 运输单纯形法 Transportation Simplex Method,记原问题基变量XB的下标集为I，由对偶性质知，原问题xij的检验
7、数的相反数是对偶问题的松弛变量ij，当（i，j）I 时 ij=0，因而有,解上面第一个方程，将ui、vj 代入第二个方程求出ij,4.2 运输单纯形法 Transportation Simplex Method,表上作业法,闭回路的概念,为一个闭回路，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表,表上作业法,例下表中闭回路的变量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。,一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，表中的变量x 32及x33不是闭回路
8、的顶点，只是连线的交点。,表上作业法,闭回路,例如变量组 不能构成一条闭回路，但A中包含有闭回路,变量组 变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；,表上作业法,用位势法对初始方案进行最优性检验：,1）由ij=Cij-（Ui+Vj）计算位势Ui，Vj，因对基变量而言有ij=0，即Cij-（Ui+Vj）=0，令U1=0,2）再由ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数ij,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,4,3,6,3,1,3,0,-1,-5,3,10,2,9,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,当存在非基变量的检验数kl 0，说明现行方案为最
9、优方案，否则目标成本还可以进一步减小。,表上作业法,当存在非基变量的检验数kl 0 且kl=minij时，令Xkl 进基。从表中知可选X24进基。,第3步 确定换入基的变量,第4步 确定换出基的变量,以进基变量xkl为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量，对应的基变量为出基变量，并打上“”以示换出作为非基变量。=min闭回路中各偶顶点运量闭回路中偶顶点标负号，奇顶点标正号,表上作业法,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,4,3,6,3,1,3,(),(),(),(),调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量，标有负号的变量减去调整量，其余变量不变，得到
10、一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。,1,2,5,表上作业法,当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：Z=(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,5,3,6,3,1,2,0,-2,-5,3,10,3,9,（0）,（2）,（2）,（1）,（12）,（9）,表上作业法,表上作业法的计算步骤：,表上作业法,表上作业法计算中的问题：,（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取ij0中最
11、小者对应的变量为换入变量。（2）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问题有无穷多最优解。,表上作业法,退化解：表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过2个最小值）作为调整量，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为非基变量。,表上作业法,12,4,11,4,8,3,10,2,9,5,11,6,(0),(2),(9),(2),(1),
12、(12),8,12,4,2,8,14,如下例中11检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。,表上作业法,11,4,4,3,1,3,7,7,8,2,10,6,3,4,1,6,0,6,在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x34,例：用最小元素法求初始可行解,运输问题的应用,求极大值问题目标函数求利润最大或营业额最大等问题。,运输问题的应用,求解方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为C，用一个较大的数M（Mmaxcij）去减每一个cij得到矩阵C，其中C=（Mcij）0,将C作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。,运输问题的应用,例3.3
13、 下列矩阵C是Ai（I=1，2，3）到Bj的吨公里利润,运输部门如何安排运输方案使总利润最大.,运输问题的应用,得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。,运输问题的应用,产销不平衡的运输问题当总产量与总销量不相等时,称为不平衡运输问题.这类运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。,当产大于销时，即：,数学模型为：,运输问题的应用,由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地Bn+1，bn+1作为一个虚设销地Bn+1的销量(即库存量)。各产地Ai到Bn+1的运价为零，即Ci,n
14、+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的数学模型为：,具体求解时,只在运价表右端增加一列Bn+1，运价为零,销量为bn+1即可,运输问题的应用,当销大于产时，即：,数学模型为：,由于总销量大于总产量,故一定有些需求地不完全满足,这时虚设一个产地Am+1，产量为：,运输问题的应用,销大于产化为平衡问题的数学模型为：,具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为零。产量为am+1即可。,运输问题的应用,例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。,因为有：,运输问题的应用,所以是一个产大于销的运输问题。表中A2不可达B1，用一个很大的正数M表示运价C21。虚设一个销量为b5=180-160=2
15、0，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列，得到新的运价表。,运输问题的应用,下表为计算结果。可看出：产地A4还有20个单位没有运出。,运输问题的应用,3.生产与储存问题,例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。,运输问题的应用,解：设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足：交货：x11=10 生产：x11+
16、x12+x13+x14 25 x12+x22=15 x22+x23+x24 35 x13+x23+x33=25 x33+x34 30 x14+x24+x34+x44=20 x44 10,把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设cij是第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：,运输问题的应用,由于产大于销，加上一个虚拟的销地D，化为平衡问题，即可应用表上作业法求解。,运输问题的应用,该问题的数学模型：Min f=10.8 x11+10.95 x12+11.1 x13+11.25 x14+11.1 x22+11.25 x23+11.4 x24+11.0 x33+11.15 x34+11.3 x44,运输问题的应用,最优生产决策如下表，最小费用z773万元。,表上作业法解决下列运输问题：,习题,
