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1、1,杆系结构的有限元法 主讲人：杨红林 2014.07.25,2,目录一、杆系结构的概念与分析原理 1、杆系结构定义 2、杆系结构离散与单元分析 3、平面杆单元的坐标变换 4、整体刚度矩阵的组装 5、整体刚度方程的求解二、杆系结构算例 1、阶梯直杆算例 2、桁架结构算例,3,一、杆系结构的概念与分析原理,1 、杆系结构的定义由 有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构。,2 、杆系结构的离散与分析,一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应设置节点，节点之间的杆件即构成单元。,如图为桁架结构,4,F,如图为阶梯直杆的离散,对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如
2、下图：,根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：,5,单元的刚度方程为：,其中,为节点力列阵；,为节点位移列阵。,3 、平面杆单元的坐标变换 工程实际中，整体坐标系和局部坐标系要相互转化。如下进行推导分析：,6,平面杆单元的坐标变换,局部坐标系中的节点位移为：,整体坐标系中的节点位移为：,两个坐标系下的等价变换关系为：,7,写成矩阵形式为：,为坐标变换矩阵，即,下面推导整体坐标系下的刚度方程，根据势能变分原理可得单元势能为：,8,为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为整体坐标系下的节点力列阵，即：,由最小势能原理，对待定的节点位移列阵取极小值，可得到整体坐标系下的刚度方程,4、整体刚度矩阵的组装 将所得
3、到的各单元的刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵，即K= K1 + K2 + K3 + K4 + K5 + 。组装步骤如下： （1）计算局部坐标系下各个单元的刚度矩阵； （2）计算各单元从局部坐标系到整体坐标系的转换矩阵； （3）计算整体坐标系下各单元刚度矩阵； （4）“对号入座”组装成整体刚度矩阵。5、整体刚度方程的求解 由于整体刚度矩阵是奇异的，它的行列式为零，不能立即求逆；整体分,9,若结构的某些节点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大
4、缩小。例如整体刚度方程为：,去行去列法,析时，结构处于自由状态，在节点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移，不能通过平衡方程唯一地解出节点位移，故需处理边界条件。方法有删行删列法、分块法、对角元素置一法、乘大数法。,边界条件为： ，根据边界条件去行去列，如上图，,10,二、杆系结构算例,1、阶梯直杆算例,算例一： 求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：,则去行去列后有：,这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。,11,图1：三连杆结构的受力状况,1）节点编号和单元划分,图2：各单元的节点位移和外力,2）计算各单元的单元刚度方程 单元的刚度方程为：,单元的刚度方程为
5、：,单元的刚度方程为：,3）组装各单元刚度方程 整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。,12,就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即,由已知得：,为支座的支反力。,将材料参数和几何尺寸参数代入得：,4）处理边界条件并求解 结构的位移边界条件为：,并将已知的节点位移和节点力代入得：,13,求解上述方程，有：,5）求支反力 由上面的方程，可得支反力为：,6）求各个单元的应变和应力 根据应力和应变的定义可得：,14,这样求得各个单元的应力与应变。,15,算例二： 所示的四杆桁架结构，各杆的弹性模量和横截面积都为,，试求解该结构的节点位移，单元应力和支反力。,2、桁架结构算例,16,四杆桁架结构
6、,（1）结构的离散化及编号 对结构进行离散，单元编号和节点编号，有关单元和节点的信息见表。,四杆桁架结构节点及坐标,17,可编辑,18,四杆桁架结构的单元编号及对应节点,各单元的长度及轴线方向余弦,（2）各个单元的矩阵描述 在整体坐标系下对节点位移和单元刚度矩阵进行表达，各单元经坐标变换后的刚度矩阵如下：,19,20,（3）建立整体刚度矩阵 将各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成整体刚度矩阵；同时将所有节点载荷进行组装。,刚度矩阵：,节点位移：,节点力：,21,整体刚度方程为：,（4）边界条件的处理及刚度方程求解 边界位移条件为：,化简后有：,22,对该方程进行求解，有,则所有的节点位移为
7、：,（5）各单元应力的计算,同理，可求出其他单元的应力,23,（6）支反力的计算 根据整体刚度方程，可求得结果为,24,算例三： 五杆桁架结构，各杆的弹性模量与截面积为E= pa，A= ，P=2000N，求结构的节点位移、支反力和单元应力。,五杆桁架结构,（1）结构离散与编号结构离散后进行节点编号与单元编号，有关节点与单元的信息见下表。,桁架结构节点及坐标,25,桁架结构的单元及对应编号,各单元长度及方向余弦,（2）单元分析求出各杆单元的坐标转换矩阵及刚度矩阵,T1,=,26,=,T2,=20 ,K2,=,T3,=,T4,=,T5,K1,=,27,K3,= ,K4,=20 ,K5,= ,（3）整体分析 将各单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵。 刚度矩阵：K= K1 + K2 + K3 + K4 + K5 节点位移：q=,28,节点力：p=,整体刚度方程为,=,（4）刚度方程求解 边界条件为： ，代入方程化简后有,29,对方程求解，则所有的节点位移为,mm,求解整体刚度方程，可得支反力为,30,（5）各单元应力的计算,=,同理，可求出其他单元的应力,Thank You,31,32,可编辑,
