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1、,Matrix Theory,矩 阵 论教材：矩阵论简明教程（第二版）徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著 科学出版社,第一章 矩阵的基础知识,1.1 矩阵的运算,1.2 方阵的行列式,1.3 矩阵的秩,1.4 特殊矩阵类,1.1 矩阵的运算,一、 矩阵的概念,1、数集R实数集，C复数集,2、矩阵的记号,！,Notations,二、 矩阵的运算,1、加法，减法,2、数乘,3、乘法,4、转置与共轭转置,三、 矩阵的块运算,1、加法，减法,2、数乘,3、乘法,4、转置与共轭转置,1.2 方阵的行列式,一、行列式的定义与性质,二、块矩阵的行列式,即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另
2、一列，值不变。,Example 1,证：,Example 2,证：,Example 3,证：,三、Vandermond 行列式,Matrix Theory,第一章 矩阵的基础知识,1.1 矩阵的运算,1.2 方阵的行列式,1.3 矩阵的秩,1.4 特殊矩阵类,一、 矩阵秩的定义及基本性质,1、秩的定义,1.3 矩阵的秩,2、基本性质,（1）初等变换不改变矩阵秩；,二、 矩阵秩等式,三、 矩阵秩不等式,定理1,推论1,1.4 特殊矩阵,一、 几类基本的特殊矩阵,1、零矩阵，单位矩阵,2、对角矩阵,3、三角矩阵,二、 正规矩阵,定义1,以下矩阵都是正规矩阵：,定义2,三、初等矩阵,1、定义,有以下
3、三类初等矩阵：,定义3,2、三种初等矩阵的统一表示,Remark,四、其他特殊矩阵,Matrix Theory,第1章 矩阵的相似变换,2.1 矩阵的特征值与特征向量,2.2 矩阵的相似对角化,2.3 矩阵的Jordan标准形,2.4 Hamilton-Cayley 定理,2.5 矩阵的酉相似,一、特征值与特征向量,1、定义,2.1 矩阵的特征值与特征向量,定义1,2、特征多项式,定义2,！,Remarks,3、特征值与特征向量的求法,例1,解,二、特征值与特征向量的性质,定义3,定理1,定理2,定义4,定理3,定理4,！,Remarks,2.2 矩阵的相似对角化,一、矩阵的相似,1、定义,定
4、义1,2、性质,定理1,定理2,Proof of（2）,二、相似对角化,1、定义,定义2,2、相似对角化的条件,定理3,Proof,推论1,推论2,Example 2,Solution,Example 3,Solution,Matrix Theory,第二章 矩阵的相似变换,2.1 矩阵的特征值与特征向量,2.2 矩阵的相似对角化,2.3 矩阵的Jordan标准形,2.4 Hamilton-Cayley 定理,2.5 矩阵的酉相似,一、 Jordan标准形,1、定义,定义1,2.3 矩阵的Jordan标准形,！,Remark,2、矩阵的Jordan分解定理,定理1,二、 Jordan标准形的求
5、法,1、初等变换法,定义2,定理2,！,Reamrk,定义3,由初等变换求矩阵 A 的Jordan标准形方法：,例1,解,2、行列式因子法,定义3,定理3,由行列式因子求矩阵 A 的Jordan标准形方法：,例2,解,例3,解,三、 相似变换矩阵的求法与Jordan标准形的幂,1、相似变换矩阵的求法,例4,解,！,Remark,2、Jordan标准形的幂,定理4,！,Remark,例5,解,Matrix Theory,第二章 矩阵的相似变换,2.1 矩阵的特征值与特征向量,2.2 矩阵的相似对角化,2.3 矩阵的Jordan标准形,2.4 Hamilton-Cayley 定理,2.5 矩阵的酉
6、相似,一、 Hamilton-Cayley 定理,1、定理,定理1（Hamilton-Cayley 定理）,2.4 Hamilton-Cayley 定理,证明,1、利用定理1可以简化矩阵运算,例1,解,二、 Hamilton-Cayley定理的应用,2、可逆矩阵逆的多项式表示,三、 零化多项式与最小多项式,1、零化多项式,定义1,！,Notations,2、最小多项式,定义2,定理2,证略,3、零化多项式与最小多项式的关系,定理3,证,定理4,证略,例2,解,Matrix Theory,第二章 矩阵的相似变换,2.1 矩阵的特征值与特征向量,2.2 矩阵的相似对角化,2.3 矩阵的Jordan
7、标准形,2.4 Hamilton-Cayley 定理,2.5 矩阵的酉相似,2.5 矩阵的酉相似,1、 向量的内积,定义1,定理1,2、 向量的长度,定义2,向量的长度具有如下性质：,定理2,3、 Cauchy-Schwarz不等式,定理3（ Cauchy-Schwarz不等式）,证,1、 定义,定义3,定理4,证,定义4,2、 Schmidt正交化,3、 单位化,例1,解,三、 酉矩阵,1、 定义,定义5,！,Notations,2、 性质,定理5,定理6,证,四、 酉相似,1、 定义,定义6,2、 Schur分解,定理7（Schur分解定理）,证,从而由归纳法可以证明。,五、 酉相似对角化
8、,1、 正规矩阵,定义7,！,Notations,以下矩阵都是正规矩阵：,定理8,证：必要性,充分性：,2、 Hermite矩阵，反Hermite矩阵及酉矩阵的特性,定理9,证,酉相似对角化方法：,例2,解,六、 Hermite 矩阵的正定性,1、 定义,定义8,2、正定Hermite 矩阵的性质,定理10,定理11,3、非负定Hermite 矩阵的性质,定理12,Matrix Theory,第4章 矩阵分析,4.1 向量的范数,4.2 矩阵范数,4.3 矩阵级数,4.4 矩阵函数,4.5 矩阵的微分与积分,4.1 向量的范数,一、向量的范数,Recall：向量的长度的性质,1. 范数的定义,齐,定义1,设 是 上一个泛函，满足,齐,则称 是 上一个范数.,2. 常用的向量范数,设,定义2,可以验证 均是 上向量范数，分别,称为1-范数， 2-范数， p-范数和 -范数.,例如，验证 满足三角不等式.,
