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1、1,表示什么?,例如,又如,有解？如何解？,一、二阶行列式,2,引例1. 解二元线性方程组,解: 消元法.,为了消去未知数,即,3,故(2)、(3)式即为方程组(1)的解.,类似地可以求得,从(2)、(3)式可知, 它们的分母相同,都是由方程组的未知数的四个系数决定的.,定义 引进记号,4,(4),(4)式称为二阶行列式. 其中横写的叫行,竖写的叫列, 共有二行二列,注: 1. 结构规律: 把第一行每个元素乘以划去该元素所在的行列之后剩下的元素,前面带有正负号,最后求代数和.,2. 根据二阶行列式的定义, (2)、(3)式的分子可分别用如下二阶行列式来表示,即,5,4. 利用二阶行列式解二元线
2、性方程组(1).,3. 二阶行列式的计算,即公式(4)也可用如下对角线法则来记忆.,6,记,系数行列式,7,于是方程组(1)的解为:,分母均为原方程组的系数行列式,8,例1.解二元线性方程组,解:,9,二、三阶行列式,引例2. 解三元线性方程组,解:,10,定义 引进记号,11,称为三阶行列式. 即,(8),注: 1.结构规律: 把第一行每个元素乘以划去该元素所在的行列之后剩下的二阶行列式,前面带有正负号,最后求代数和.,2. 根据三阶行列式的定义, (7)式右边也可用三阶行列式表示为,=,12,13,类似地,可求得,(10),注意: (9)、(10)式中的分母均为原方程组的系数行列式.,14
3、,三阶行列式的对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,15,例,解,按对角线法则，有,16,三、n 阶行列式,回顾:,=,17,=,18,余子式:划去,所在的行与列剩下的元素组成的,行列式.,代数余子式:在余子式前面加了符号.,例如: 三阶行列式,余子式:,代数余子式:,19,又如四阶行列式:,进一步推广, 引进 n 阶行列式的概念.,20,定义1 (n阶行列式的定义),称为 n 阶行列式,它由n行n列元素 (共 个元素)组成,且,(12),21,注: 1. (12)式给出了计算 n 阶行列式的方法,即,22,先将 n
4、 阶行列式化成 n-1 阶行列式, 再化成 n-2 阶行列式, , 最后可求得 D的值.,2. (12)式又称为行列式 D 按第一行的展开式.,(12),定义2. 在行列式 D (11)式)中,第 i 行第 j 列的元素,23,注: 根据定义2, 行列式的计算公式(12)式可化成:,(13),例2. 计算三阶行列式,24,解:,25,例3. 计算,解:,26,例4. 证明下三角行列式,证明:,27,特例:,例5. 证明,证明:,根据定义, 按第一行反复展开, 有,28,29,30,思考题,1.计算,解:,31,=,32,=,！,33,2.,34,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,又,得,35,3.写出下列行列式中元素的余子式及代数余子式.(1) (2) (1)中元素的余子式为:相应的代数余子式为:,36,(2)中元素 的余子式为:相应的代数余子式为:,
